分析之[一致收斂]

04-30

拖了很久的一篇姍姍來遲, 抽象, 有點難度, 寫的不好的話請大家多多提出意見. 這一節可以說應該是"站在泛函分析的角度上"回顧函數序列與函數項級數的味道. 本節主要探討函數序列與函數項級數的一致收斂的概念與性質, 以及連續與可微函數構成的 Banach 空間.

本節關鍵詞:

逐點收斂與一致收斂
函數序列
巴拿赫(Banach)空間
Arzela-Ascoli 定理

逐點收斂與一致收斂

在此先給出逐點收斂的概念

[Defn:逐點收斂]
設 $f_n(nin mathbb{N})$ 為定義在集 $K$ 上的一族實值(或復值)函數. 函數序列 ${f_n}$ 稱逐點收斂於函數 $f$ , 當 $forall x in K,exists Nin mathbb{N},forall n>N$ , 有

$|f_{n}-f(x)|<varepsilon.$

一致收斂與逐點收斂看起來有些相似:

[Defn:一致收斂]
設 $f_n(nin mathbb{N})$ 為定義在集 $K$ 上的一族實值(或復值)函數. 函數序列 ${f_n}$ 稱一致收斂於函數 $f$ , 若 $forall varepsilon>0,exists Nin mathbb{N},forall n>N, xin K$ 有
$|f_{n}-f(x)|<varepsilon.$
用符號 $f_n ightrightarrows f$ 表示.

這裡要注意到逐點收斂與一致收斂之間很重要的一個不同之處: 一般來說,逐點收斂定義中的 $N$ 不僅與 $varepsilon$ 有關, 還與 $x$ 的取值有關;而一致收斂中的 $N$ ,則只與 $varepsilon$ 有關, 也就是對所有的 $x$ ,均有 $|f_{n}-f(x)|<varepsilon.$ 成立.

這裡舉個例子來進一步感受這兩者之間的區別.

例: 考察定義在 $[0,1]$ 上的一族函數 $f_n(x)=x^n$ 構成的函數序列 ${f(n)}_{nin mathbb{N}}$ . 顯然該函數逐點收斂於函數 $f(x):=egin{cases} 0,quad 0leqslant x<1 \ 1,quad x=1. end{cases}$

對於任意給定的 $varepsilon>0$ , 使得定義當中不等式成立的最小的自然數 $N$ , 應當大於 $frac{logvarepsilon}{log x}$ .注意到,該函數序列中的函數均在 $[0,1]$ 上連續, 但是極限函數 $f$ 卻是不連續的.

函數序列與函數項級數

由上面的例子,可以感受到逐點收斂這一概念, 是不足以保證極限函數繼承函數序列中函數的連續性的.而對於一致收斂, 我們有以下定理做出了保證:

[Thm]
設 $f_n(nin mathbb{N})$ 為定義在集 $Ksubsetmathbb{R}(or~mathbb{C})$ 上的一族實值(或復值)連續函數. 若函數序列 ${f_n}$ 一致收斂於極限函數 $f$ ,則 $f$ 也是連續的. 用極限的表達方式寫出來, 就是:
$lim_{n ightarrow infty}lim_{x ightarrow x_0}f_n(x)=lim_{x ightarrow x_0}lim_{n ightarrowinfty}f_n(x).$

上一節我們提到了範數的定義, 可以驗證, 下面定義的映射給出了函數的一個範數:

[Defn:確界範數]
令函數 $f$ 為定義在集 $K$ 上的一個函數, 則按以下方式定義確界範數:
$lVert f Vert_infty=lVert f Vert_{infty,K}:=sup_{xin K}{|f(x)|}.$

利用這個範數, 容易得到函數序列一致收斂的充分必要條件.

[Thm]
函數序列 $f_n:K ightarrow mathbb{R}(or~mathbb{C})$ 一致收斂於函數 $f:K ightarrow mathbb{R}(or~mathbb{C})$ , 當且僅當
$lim_{n ightarrowinfty}lVert f_n-f Vert_infty=0.$

這裡指出,賦予了以上範數的線性空間 $C^0(K):={fin C^0(K):lVert f Vert_infty<infty}$ 為一個巴拿赫空間( $C^0(K,mathbb{C})$ 也是).

之前,我們在對函數做 Taylor 展開的時候, 出現了以函數為通項的無窮級數的形式. 現在就稍微說說一般函數項級數. 事實上, 函數項級數提供了一種構造非初等函數的方法.

[Defn:函數項級數]
$f_n(nin mathbb{N})$ 為定義在集 $Ksubsetmathbb{R}(or~mathbb{C})$ 上的一族函數, 稱形式和 $sum_{n=1}^{infty}f_n(x)$ 為以 $f_n$ 為通項的函數項級數. $S_n(x)=sum_{i=1}^{n}f_i(x)$ 為其部分和. 對函數項級數的考察,可以視為對部分和函數序列 ${S_{n}}$ 的考察. 若序列收斂則稱該函數項級數收斂, 若序列一致收斂, 則稱該函數項級數一致收斂.

判定一個函數項級數是否收斂,有以下充分條件,可以由柯西收斂準則證明:

[Thm:Weierstrass]
若函數項級數 $sum_{n=1}^{infty}lVert f_n(x) Vert_infty<infty,$ 則函數項級數 $sum_{n=1}^{infty}f_n(x)$ 在 $K$ 上一致收斂.

這裡敘述一個定義:

[Defn:一致有界]
$f_n$ 為定義在集 $Ksubsetmathbb{R}(or~mathbb{C})$ 上的一族函數, 稱函數序列 ${f_n(x)}$ 一致有界, 當 $exists Min mathbb{R}$ , $forall nin mathbb{N},xin K$ , $lVert f_n Vert_inftyleqslant M.$

從數項級數的收斂判定法,可以類似的給出函數項級數的Abel與Dirichlet判別法, 一致有界和一致收斂在其中扮演了重要角色.在此就不贅述了.現在主要來看看一致收斂的函數序列(函數項級數)的一些性質, 這也是我們很關心的一個問題.下面我們限制在實數域討論.

[Thm]
對於兩個函數族 $f_n,g_n:[a,b] ightarrow mathbb{R}$ , 假設 $f_n$ 是連續的,並且 $forall n$ 都存在$[a,b]=I$的一個可數子集 $D_n$ ,滿足 $forall x in Iackslash D_n$ , 有 $f_n(x)=g_n(x).$ 再設
-i- $exists x_0in I$ , 使得序列 ${f_n(x_0)}$ 收斂;
-ii- 序列 ${g_n}$ 在 $I$ 上一致收斂.

那麼可以斷言, $f_n$ 在 $[a,b]$ 上一致收斂到一個連續函數 $f$ , 而 $forall x in Iackslash cup_{nin mathbb{N}}D_n$ , $f(x)$ 存在,並且有 $f(x)=lim_{n ightarrowinfty}g_n(x).$

這個定理中的一些敘述其實講述了一些很精妙的問題,學過實變函數的同學大概對這幾個名詞不會陌生:「測度」,「零測集」,「幾乎處處」,「Egorov定理」.在這裡先不展開,留待以後再提.

以上定理有一個常用的弱化的版本, 即設 $f_n$ 在整個 $[a,b]$ 上可微(也就是 $D_n$ 均為空集).這個弱化的版本,容易利用微分中值定理來證明. 放在函數項級數上面,這說的就是求和與求導運算次序的交換性.

Arzela-Ascoli 定理

在進入話題前,先介紹一個新的概念.

[Defn:等度連續]
一個函數序列 ${f_n}_{ninmathbb{N}}$ 稱為等度連續, 當 $forall varepsilon>0, exists delta>0,forall nin N,x,yin K,|x-y|<delta$ , 則有 $|f_n(x)-f_n(y)|<varepsilon$ .

回顧一致連續的概念, 一致連續講到的是單個函數在全局上連續變化的情況. 而等度連續, 我們注意到以上定義中的 $delta$ 與 $n$ 是沒有關係的, 也就是說, 等度連續刻畫了一族函數的連續情況.

有了「等度連續」的概念, 現在我們就能將Bolzano-Weierstrass定理進行推廣,其結果就是Arzela-Ascoli定理. 這是泛函分析中的一個定理，給出了一個從緊度量空間映射到度量空間的函數集合,是否在關於一致收斂的拓撲意義上是緊集的充分必要條件. 實數域上的Arzela-Ascoli定理是其最簡單的形式. 作為一個應用, 在常微分方程解的存在與唯一性的證明中, 這一定理髮揮了重要作用.

[Thm][實數域上的Arzela-Ascoli 定理]
考慮為 $mathbb{R}$ 上的一個有界閉區間 $I=[a,b]$ ,實值函數序列 ${f_n}_{ninmathbb{N}}$ . 若該序列一致有界且等度連續, 則該函數序列必包含一個一致收斂的子序列.

證明: 簡單的說一說這個定理的證明. 主要分成三步.

i) 逐點利用一致有界性. 我們考慮在 $I$ 上取一個稠密點集, 這樣, 任意的 $xin I$ 都可以通過這個點集的元素逼近得到 (比如: 任意一個無理數都可以通過一個有理數序列取極限得到). 不妨取序列 $A={x_n}_{n=1}^{infty}=Icapmathbb{Q}$ ( $I$ 與有理數集的交集). 由一致有界性, 根據 Bolzano-Weierstrass 定理:

這裡指出以上取出的這些序列有關係 ${f_{k,n}}_{n=1}^{infty}subset{f_{k-1,n}}_{n=1}^{infty}subsetcdotssubset{f_{2,n}}_{n=1}^{infty}subset{f_{1,n}}_{n=1}^{infty}$ .

ii) 取對角線構造子序列. 現在取以上這些序列中的 $f_{j,j}$ , 構成對角線序列 ${f_{k,k}}_{kin mathbb{N}}$ 這一操作被稱為Cantor 對角線法. 於是, 對於任意固定的 $j$ , 當 $i>j$ , 都有 $f_{i,i}in{f_{i,n}}subset{f_{j,n}}$ , 所以 $i ightarrowinfty$ 時 $f_{i,i}(x_j)$ 收斂.

iii) 證明所取子序列一致收斂. 我們總可以將區間 $I$ 分割成 $M$ 份, 也就是 $I=cup_{i=1}^{M}I_i$ , 使得 $forall xin I$ , 總會落在某一區間 $I_k$ 上, 並且有 $x_kin I_k$ , 使 $|x-x_k|<delta$ 成立,於是

綜合以上三個不等式,有 $|f{p,p}(x)-f{q,q}(x)|leqslant\|f{p,p}(x)-f{p,p}(x_j)|+|f{p,p}(x_j)-f{q,q}(x_j)|+|f{q,q}(x_j)-f{q,q}(x)|<varepsilon.$

整理一下上面的結論,就是:

$forall xin I, forall varepsilon>0, exists N in mathbb{N},forall p,q>N,|f{p,p}(x)-f{q,q}(x)|<varepsilon.$

(或者說 $forall varepsilon>0, exists N in mathbb{N},forall p,q>N,lVert f{p,p}(x)-f{q,q}(x) Vert_{infty,I}<varepsilon$ .)這說明我們選取的序列 ${f_{k,k}}_{kin mathbb{N}}$ 是一個一致收斂的 Cauchy 序列. 至此證畢.

這一篇完結, 這周還會努力更新. 在更新完下一篇和, 我們就要進入一個新的階段了. 準備順著已經挖下的大大小小的坑來寫, 直接切入一些簡單的泛函分析, 之後再回頭寫實分析和複分析的內容. 希望讀者給與建議. 謝謝.

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