泰勒公式在做等價替換時如何確定階數

04-30

聲明：本文為原創文章，首發於微信公眾號「湖心亭記」

在求極限時，泰勒公式可以說是最牛叉的殺手鐧了，理論上來說，只要運用得當，沒有搞不定的極限。但是好多同學在應用泰勒公式時，都弄不清楚應該展開到第幾階比較合適。今天就來詳細說一說這個問題。

還是用具體的題目來拋磚引玉吧。下面是四道例題。

例1 求極限 $[mathop {lim }limits_{x o 0} frac{{{e^x}(x - 2) + x + 2}}{{{{sin }^3}x}}]$

例2 求極限 $[mathop {lim }limits_{x o 0} frac{{{e^x}sin x - x(1 + x)}}{{xsin x an x}}]$

例3 已知當x趨近於0時， $[cos x - {e^{ - frac{{{x^2}}}{2}}}]$ 與 $[a{x^b}]$ 為等價無窮小，求a,b

例4 $[mathop {lim }limits_{x o 0} frac{{sin x - an x}}{x}]$

首先做個聲明，上述有的題目除了可以用泰勒公式來做外還有其他方法，但本文探討的是泰勒公式的用法，因此規定只用泰勒公式來做。

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廢話不多說，我們直接說重點。

一、泰勒公式求極限時，在分式中應遵循泰勒展開後，分子的階數與分母同階，或者比分母至少多一階。

為什麼說要至少多一階呢，是因為有時候確實保證不了同階嘛。

對應的題目就是例1與例2。

在例1中，分母可以做等價無窮小替換，為 $[{x^3}]$ ，也就是說分母的階數為3。那麼分子如果將 $[{e^x}]$ 泰勒展開，就應該展開的第3階。如下：

$[{e^x} = 1 + x + frac{{{x^2}}}{2} + frac{{{x^3}}}{6} + oleft( {{x^3}} ight)]$

那麼具體做法如下：

$[egin{array}{l} mathop {lim }limits_{x o 0} frac{{{e^x}(x - 2) + x + 2}}{{{{sin }^3}x}}\ = mathop {lim }limits_{x o 0} frac{{left( {1 + x + frac{{{x^2}}}{2} + frac{{{x^3}}}{6} + oleft( {{x^3}} ight)} ight)(x - 2) + x + 2}}{{{x^3}}}\ = mathop {lim }limits_{x o 0} frac{{frac{1}{2}{x^3} - frac{1}{3}{x^3}}}{{{x^3}}}\ = frac{1}{6} end{array}]$

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在例2中，分母同樣可以等價無窮小替換為 $[{x^3}]$ 。那麼分子中將 $[{e^x}]$ 和sinx做泰勒展開，理應展開到第3階即可。如下：

$[{e^x} = 1 + x + frac{{{x^2}}}{2} + frac{{{x^3}}}{6} + oleft( {{x^3}} ight)]$

$[sin x = x - frac{{{x^3}}}{6} + oleft( {{x^3}} ight)]$

但是我們注意到分子中是 $[{e^x}]$ 與sinx相乘，而sinx展開的最低是以x開始的，也就是說 $[{e^x}]$ 展開後的任何一項與之相乘都會升高階數，因此我們只需要將 $[{e^x}]$ 展開到2階級即可。否則展開到第3階，則顯得有些多餘了，但是如果你非得就展開到第3階，也是沒有錯誤的。這裡簡單來做，我們就展開 $[{e^x}]$ 到第2階。

因此最終做法如下

$[egin{array}{l} mathop {lim }limits_{x o 0} frac{{{e^x}sin x - x(1 + x)}}{{xsin x an x}}\ = mathop {lim }limits_{x o 0} frac{{left( {1 + x + frac{{{x^2}}}{2} + oleft( {{x^2}} ight)} ight)left( {x - frac{{{x^3}}}{6} + oleft( {{x^3}} ight)} ight) - x(1 + x)}}{{{x^3}}}\ = mathop {lim }limits_{x o 0} frac{{x - frac{{{x^3}}}{6} + {x^2} + frac{1}{2}{x^3} + oleft( {{x^3}} ight) - x - {x^2}}}{{{x^3}}}\ = frac{1}{3} end{array}]$

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二、在A-B的式子中，應遵循「最低冪次」原則。也就是說應該將A和B都展開到他們出現第一次係數不相等的那一項即可。

對應的題目是例3和例4。

先看例3。我們知道 $[{e^x}]$ 和cosx的泰勒展開，如下

$[{e^x} = 1 + x + frac{{{x^2}}}{2} + frac{{{x^3}}}{6} + oleft( {{x^3}} ight)]$ $[cos x = 1 - frac{{{x^2}}}{2} + frac{{{x^4}}}{{4!}} + oleft( {{x^4}} ight)]$

那麼很容易推導出 $[{e^{ - frac{{{x^2}}}{2}}}]$ 的泰勒展開，如下

$[{e^{ - frac{{{x^2}}}{2}}} = 1 - frac{{{x^2}}}{2} + frac{{{x^4}}}{8} + oleft( {{x^4}} ight)]$ 我們看到cosx和 $[{e^{ - frac{{{x^2}}}{2}}}]$ 第一次係數不相等的項為展開到x的4次方的時候，因此這個時候我們求 $[cos x - {e^{ - frac{{{x^2}}}{2}}}]$ 已經足夠了。如下

$[egin{array}{l} cos x - {e^{ - frac{{{x^2}}}{2}}} = 1 - frac{{{x^2}}}{2} + frac{{{x^4}}}{{4!}} + oleft( {{x^4}} ight) - left( {1 - frac{{{x^2}}}{2} + frac{{{x^4}}}{8} + oleft( {{x^4}} ight)} ight)\ = frac{{ - 1}}{{12}}{x^4} + oleft( {{x^4}} ight) end{array}]$

因此a為-1/12，b為4

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我們再看例4。首先sinx與tanx的泰勒展開如下

$[sin x = x - frac{{{x^3}}}{6} + oleft( {{x^3}} ight)]$

$[ an x = x + frac{{{x^3}}}{3} + oleft( {{x^3}} ight)]$

那麼根據第一個原則，只需要分子展開到與分母x同階即可。也就是如下

$[mathop {lim }limits_{x o 0} frac{{sin x - an x}}{x} = mathop {lim }limits_{x o 0} frac{{x - x}}{x} = mathop {lim }limits_{x o 0} frac{0}{x}]$

如此，我得到的是一個分子為0的奇怪的結果，沒法再做下去了。實際上因為分子是sinx-tanx類型，屬於A-B類型。因此我們還應該展開到sinx和tanx第一次出現係數不相等的那個冪次。顯然應該展開到x的3次方，這樣子也滿足了分子的階比分母的階至少高一階級這個原則。

正確做法如下：

$[egin{array}{l} mathop {lim }limits_{x o 0} frac{{sin x - an x}}{x} = mathop {lim }limits_{x o 0} frac{{x - frac{{{x^3}}}{6} - left( {x + frac{{{x^3}}}{3}} ight)}}{x}\ = mathop {lim }limits_{x o 0} frac{{ - {x^2}}}{2} = 0 end{array}]$

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好了，到此，泰勒公式應用的兩個基本原則已經講完了。簡單總結下

（1） 泰勒公式求極限時，在分式中應遵循泰勒展開後，分子的階數與分母同階，或者比分母至少多一階。

（2） 在A-B的式子中，應遵循「最低冪次」原則。也就是說應該將A和B都展開到他們出現第一次係數不相等的那一項即可。

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最後再啰嗦兩句，實際上泰勒公式的本質就是用簡單的多項式函數來代替較為複雜的函數。畢竟多項式函數的運算最為簡潔嘛。因此無論是分式做比的情況，還是加減做差的情況，只要你把應該選擇用哪一階的多項式函數來代替原函數給吃透了，一般都不會出錯的。而應該展開到哪一階，就要恪守那兩個原則，具體問題具體分析。總之就是要能忽略掉展開的小歐部分（即高階無窮小那一部分，也就是例子中的 $[oleft( {{x^3}} ight)]$ 或者 $[oleft( {{x^4}} ight)]$ ）。