範疇論學習筆記17：米田引理

目錄：類型論驛站寫作計劃

前一篇：範疇論學習筆記16：函子範疇、範疇的等價

後一篇：範疇論學習筆記18：可表函子和普遍元素

學習材料：Category Theory: A Gentle Introduction - Logic Matters，最近更新（2018年1月29日）的版本。這份筆記對應的是第 24-25 章。

Hom-函子是一類可以保存極限的特殊函子。自然變換是函子之間的一種關係。現在我們要討論的是 hom-函子之間的自然變換。

函子之間的自然變換

取局部小（本次筆記討論的所有範疇均為局部小）範疇 。又取 箭頭 。如何能夠從 構建一個相應的兩個hom-函子（ ）之間的自然變換 呢？

如果 是一個自然變換，那麼它的所有構件（components，日：成分、せいぶん）必須使得下面的範疇圖可交換：

其中 是映射 ，將箭頭 映射到箭頭 上。如果我們把構件 設定為 ，可以將箭頭 發送到複合箭頭 上，那麼上面的範疇圖的確是可交換的。

因此，如果存在箭頭 ，那麼久可以構建一個對應的變換（transformation） ，以上面定義的 為構件。

此外，如果 是一個同構，那麼每一個構件 ，即 就有一個逆 ，所以是一個同構。與之相對應的變換 就是一個自然同構（natural isomorphism）。

定理119

假設 是一個局部小的範疇， 是hom-函子，那麼給定一個箭頭 ，則存在一個對應的自然變換 ，對於每一個 ，構件（component） 都把一個箭頭 映射到 上面。

此外，如果 是一個同構，與之相對應的變換 就是一個自然同構。

定理120

對於一個包含對象 的局部小的範疇 ，以及箭頭 ，那麼

接下來我們要問：是否 hom-函子 之間的所有可能存在的自然變換都是從箭頭 生成的呢？

定理121

假設 是要給局部小的範疇，考慮對於 對象 和 來說的 hom-函子 和 。如果存在一個自然變換 ，那麼也存在一個唯一的箭頭 ，使得 ，即 。

基於在協變/同變 hom-函子的對偶逆變/反變 hom-函子的定理119-121的對偶定理是：

定理122

1. 假設 是一個局部小的範疇， 是hom-函子，那麼給定一個箭頭 ，則存在一個對應的自然變換 ，對於每一個 ，構件（component） 都把一個箭頭 映射到 上面。此外，如果 是一個同構，與之相對應的變換 就是一個自然同構。
2. 如果存在一個自然變換 ，那麼也存在一個唯一的箭頭 ，使得 ，即 。
3. 

受限米田引理（the Restricted Yoneda Lemma）

對於一對 hom-函子 ，由定理121可知它們之間的自然變換的數量不多於 箭頭 的數量。又由於這次筆記里的範疇 都是局部小範疇，所以自然變換可以被一個集合所容納。這就是函子範疇 的hom-集合，我們記作 。

又由於 箭頭s hom-集合 的一個成員。所以在證明定理119和121時，我們會用到兩組函數 和 ：

1. 將函數 映射到自然變換 上。
2. 將自然變換 映射到函數 上。

下面我們證明 和 在 Set 中互為逆函數：

1. 對於任意函數 ，我們有 ，所以 。
2. 對於任意自然變換 ，我們有 ，所以 。

因此， 和 在 Set 中是互逆的，它們是同構。總結起來，我們有：

定理123（受限米田引理）

設 是一個局部小的範疇， 是 的對象。那麼 。

對偶地，我們有：

定理124（受限米田引理，續）

設 是一個局部小的範疇， 是 的對象。那麼 。

米田嵌入（the Yoneda embedding）

定理125

對於任何局部小的範疇 ，都存在一個標記為 的函子，包含組件 ，使得

1. 對於任意
2. 對於任意箭頭 即箭頭 ， 。

對偶地，我們有函子 ，包括組件 ，使得

1. 對於任意
2. 對於任意箭頭 即箭頭 ， 。

定理126

函子 和 都是全然忠實函子，且在對象上是單射的（injective on objects）。

定理127

對於局部小範疇里的任何對象 ， ，

定義112

全然忠實的函子 被稱為 的米田嵌入（Yoneda embedding）；其對偶函子 被戲稱為尤達嵌入（Yoda embedding）。

回顧群論里的凱萊定理（Cayleys Theorem）：

定理128（凱萊定理）

任何群 都和群 ，即集合 的置換群（group of permutations），的一個子群同構。

若假以篇幅，我們可以說明米田引理是凱萊定理的一個推廣。但現在，我們將把目光轉向完整的米田引理。

完整的米田引理（the full Yoneda Lemma）

在受限米田引理中，我們用到了函子範疇 的hom-集合 。下面我們把這個集合的要求進行放鬆，我們不再要求第二個函子一定是 hom-函子： 。

定理129

對於任何局部小的範疇 ，對象 ，以及函子 ，我們有 。

按照受限情形的思路可以證明定理129。此外，我們還必須確認同構 的存在及其「自然性」。先回顧一下自然性的定義：

定義100

對於函子 和一個 對象，我們說在 中， 自然地和 同構（ ），只要 和 是自然（naturally）同構的。

從這個定義出發，我們有：

定理130

設 是局部小的範疇， 是函子 。那麼函子 和 是自然同構的。

定理131

設 為局部小的範疇，那麼 和 是自然同構的。

結合上述定理，我們就有了米田引理的完整版本：

定理132（米田引理）

對於任何局部小的範疇 , 的對象 ，以及函子 。那麼 ，這個等價不但在 中是自然的，在 中也是自然的。

對偶地，我們有：

定理133（米田引理）

對於任何局部小的範疇 , 的對象 ，以及函子 。那麼 ，這個等價不但在 中是自然的，在 中也是自然的。

在有些著作里，對於米田引理的表述和證明用到了下面兩個定義：

定義113

從 到 Set 的逆變函子 是 上的一個預層（presheaf）。

定義114

上的預層（作為對象）加上它們之間的自然變換（作為箭頭），構成了 上的預層範疇，記為 。

在這些著作里，米田引理的主體被表述為 。

目錄：類型論驛站寫作計劃

前一篇：範疇論學習筆記16：函子範疇、範疇的等價

後一篇：範疇論學習筆記18：可表函子和普遍元素

推薦閱讀：