【抄書筆記】李群的基本定義

05-03

在吐槽了馬中騏那本書的六個月有餘後，我居然又開始讀它了。沒有找到有其他的寫得更好的書能同時覆蓋這本書的細節。本來是想開個專欄專門放抄書筆記，突然發現開通專欄居然還要申請審核，真麻煩。。。

李群的定義

考慮連續群 $G$ ,有元素 $Rin G$ ，其群參數為 $r=(r_1,r_2,...,r_n)$ 。考慮群內的乘積 $R(r)S(s)=T(t)$ ,其中 $t=(t_1,t_2,...,t_n)$ 為 $r$ 和 $s$ 的函數，

$t_A=f_A(r_1,r_2,...,r_n;s_1,s_2,...,s_n)=f_A(r,s)$

其中函數 $f_A$ 成為連續群的組合函數。若組合函數為解析函數，則該群為李群。李群同樣滿足群的四條性質

封閉性：即組合函數 $f_A:群空間 imes群空間 ightarrow群空間$
結合律： $f_A(r,f(t,s))=f_a(f(r,t),s)$
存在恆元 $e=(e_1,e_2,...,e_n)$ ，使得 $f_A(e,r)=f_A(r,e)=r_A$ 。
存在逆元 $ar{r}$ 使得 $f_A(r,ar{r})=f_A(ar{r},r)=e_A$ 。

李群的局域性質及生成元

考慮群上的兩無窮小量 $alpha$ 和 $eta$ ，將組合函數展開到一階，我們有

$egin{aligned} f_A(alpha,eta)=&f_A(0,0)+alpha_ifrac{partial f_A(alpha,0)}{partialalpha_i}igg|_{alpha=0}+eta_ifrac{partial f_A(0,eta)}{partialeta_i}igg|_{eta=0} \=&alpha_A+eta_A end{aligned}$

因此無窮小元素的組合函數可以看做加法，具有阿貝爾性。對無窮小元素的逆元，我們可以得到

$ar{alpha}=-alpha$ 。

考慮李群的無窮小元素的變化 $P_A$ ,我們有

$P_Apsi(x)=psi(A^{-1}x)$

將其展開並保留到一階

$egin{aligned} P_Apsi(x)&=psi(A^{-1}x) \&=psi(x)+sum_{a,D}ar{alpha}_Dfrac{partial (A^{-1}x)_A}{partialaralpha_D}igg|_{aralpha=0}cdotfrac{partialpsi(A^{-1}x)}{partial(A^{-1}x)_a}igg|_{aralpha=0} \&=psi(x)-i[sum_Dalpha_Dcdot(-isum_afrac{partial(Ax)_a}{partialalpha_D}igg|_{alpha=0}frac{partial}{partial x_a})]psi(x) \&=psi(x)-isum_Dalpha_DI_D^{(0)}psi(x) end{aligned}$