向量基礎

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在實踐中，常常遇到倆類不同性質的量:一類只有大小的量， 如時間，溫度，稱之為數量，另一種量，不僅有大小，還有方向，例如力，速度，加速度，我們稱之為向量。

幾何表示

直觀上，向量通常被標示為一個帶箭頭的有向線段。線段的長度表示向量的大小（或稱模長），向量的方向即箭頭所指的方向。

自由向量

在另一些時候，由於向量的共性都具有大小和方向，會認為向量的起點和終點並不那麼重要。兩個起點不一樣的向量，只要大小相等，方向相同，就可以稱為是同一個向量。這樣的向量被稱為自由向量。

向量的性質

有向線段

一個以點A為起點，B為終點的有向線段。

有向線段的概念建構於向量的方向與長度，差別在於多定義了始點與終點。在文字描述時，如果已知某有向線段的起點和終點分別是A和B，

大小

向量的大小(Magnitude)也稱模長、長度。幾何上，當確定了單位長度後作圖所得的向量的長度，即為向量的大小

在有限維賦范線性空間中，向量的模長也稱為範數（Norm）.

夾角

向量的夾角（Included angle）是對於兩個向量而言的概念。對於任意兩個給定的向量，二者的夾角即將二者圖示化後兩箭頭所夾之角。由於夾角具有互補性，因此在不同的出發規定、不同的旋轉方向下，所得夾角亦不同。

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向量運算

設

加法

向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則，

向量的加法。

設a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，則a+b=(x1+x2,y1+y2)

向量加法的運算律：

交換律：a+b=b+a；

結合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

減法

如果a、b是互為相反的向量，那麼a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量為0

OA-OB=BA.即「共同起點，指向被

向量的減法

減」

a=(x1,y1)，b=(x2,y2) ，則a-b=(x1-x2,y1-y2).

如圖：c=a-b 以b的結束為起點，a的結束為終點。

加減變換律：a+(-b)=a-b

數乘

實數λ和向量a的叉乘乘積是一個向量，記作λa，且|λa|=|λ|*|a|。 [1]

當λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當λ<0時，λa的方向與a的方向相反；當λ=0時，λa=0，方向任意。當a=0時，對於任意實數λ，都有λa=0。 [1]

註：按定義知，如果λa=0，那麼λ=0或a=0。

實數λ叫做向量a的係數，乘數向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮。

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