如何證明"1 = 0.999..."

05-05

這是數學分析第一節課上老師提出的一個問題，大概是為了引起我們的學習興趣。當他證明出該結論的時候，全班同學都驚呼出了聲。

這是 @廉帝在問題「「高等數學」與「數學分析」的區別與聯繫有哪些？」中的回答的節選：

所以，上數學分析的數學系的孩紙，上課只有兩種想法：

1、這tm也要證？（顯然易見啊~）
2、這tm也能證？（想出來就不容易還要證明啊~）

這正是我當時心情的真實寫照。

這樣的證明只能算是「偽證」。1 = 0.999... 本就是人為定義的，只是為了自洽而去證明它，等於是「先有了雞，再有的蛋」，而不是「雞由蛋孵化出來」的邏輯。

我的老師的證明方式是：

令 $x = 0.999...$ , 所以 $10x = 9.999...$ , 兩式相減, 所以 $10x - x = 9x = 9.999... - 0.999... = 9$ , 即 $9x = 9$ , 所以 $x = 1$ .

證明完畢.

我想，他之所以沒有採用「三分之一乘以三等於一」的證明方法，僅是為了提高逼格吧。

因為 $frac{1}{3} = 0.333...$ , 而 $frac{1}{3} imes 3=1$ , $0.333... imes 3 = 0.999...$ , 所以 $1 = 0.999...$

這樣的 trick，活躍氣氛時可以試試，在學數學的朋友面前就不要玩兒了，我怕他/她會以看 ZZ 的目光看你。翻翻《數學分析》課本你就明白了，第一章的第一小節。