08.叉乘

本文的主要內容：叉乘的計算方式，幾何含義和詳細證明．

1.叉乘的計算公式

[v1,v2,v3]x[w1,w2,w3] = [[ v2w3 - v3w2],[-v1w3 + v3w1],[ v1w2 - v2w1]]

import sympy as sp v1,v2,v3,w1,w2,w3 = sp.symbols("v1,v2,v3,w1,w2,w3") M1 = sp.Matrix([v1,v2,v3]) M2 = sp.Matrix([w1,w2,w3]) M3 = M1.cross(M2)#cross叉乘 M3 #Matrix([[ v2*w3 - v3*w2],[-v1*w3 + v3*w1],[ v1*w2 - v2*w1]]) M3.subs([[v1,1],[v2,2],[v3,3],[w1,4],[w2,5],[w3,6]]) #Matrix([[-3], [ 6], [-3]]) import numpy as np M1 = np.matrix([1,2,3]) M2 = np.matrix([4,5,6]) np.cross(M1,M2) #array([[-3, 6, -3]])

2.叉乘的幾何意義

叉乘：也叫向量積，外積，叉積，矢積。對於２個３維向量的叉乘，結果是一個和已有兩個向量都垂直的向量，方向符合右手定則。

如果我們有3個三維向量，第1個是未知向量 =[x,y,z]，第2個是已知向量 = [v1,v2,v3]，第3個是已知向量 = [w1,w2,w3]，這三個向量構成的平行六面體設為F，設Ｍ1=[[x,v1,w1],[y,v2,w2],[z,v3,w3]]．

F的體積為 ， 等於det(M1)的絕對值：

因為x，y，ｚ是未知的，所以我們歸納M1的行列式為x,y,z作為變數的表達式．

import sympy as sp x,y,z,v1,v2,v3,w1,w2,w3 = sp.symbols("x,y,z,v1,v2,v3,w1,w2,w3") M1 = sp.Matrix([[x,v1,w1],[y,v2,w2],[z,v3,w3]]) M1.det().factor(x,y,z) #factor　提取變數 #結果為：x*(v2*w3 - v3*w2) + y*(-v1*w3 + v3*w1) + z*(v1*w2 - v2*w1)

det(M1) = x*(v2*w3 - v3*w2) + y*(-v1*w3 + v3*w1) + z*(v1*w2 - v2*w1)

體積 ＝|det(M1)|＝|x*(v2*w3 - v3*w2) + y*(-v1*w3 + v3*w1) + z*(v1*w2 - v2*w1)|

當 為右手定則的拇指一側（偏差<=90°）時， =det(M1)，否則－ =det(M1)．

［注意上面用了一個技巧，本來 是為食指， 為中指， 為拇指的，但是經過旋轉（不經過變換），相對下圖其實 就是拇指方向（而不是反方向），可以動手旋轉一下］

假設： 為垂直於 平面的向量，| |等於和構成的面積，右手定則的拇指方向為 方向．

根據點乘公式可知， ．

因為 垂直於 平面， 為在上的投影，所以 為立體Ｆ在 平面的高，又因為| |為 構成的面積．

可得 ＝高＊面積 = ＝|det(M1)|．

嘗試去除公式中的絕對值，我們希望得到 =det(M1)：

(1)當為右手定則的拇指一側（偏差＜＝90°）時， ＞＝0， =det(M1)，此時 夾角＜＝90°，則 =det(M1)= ，

(2)當為右手定則的拇指不同側的時， ＜0，－ =det(M1)，此時 夾角大於90°，－ =det(M1)= ．

綜上， =det(M1) = x*(v2*w3 - v3*w2) + y*(-v1*w3 + v3*w1) + z*(v1*w2 - v2*w1)，

因為 ＝[x,y,z]，可得 　＝　[v2*w3 - v3*w2,-v1*w3 + v3*w1,v1*w2 - v2*w1]= x ．

幾何含義：

結合叉乘的計算公式， x =[v2*w3 - v3*w2,-v1*w3 + v3*w1,v1*w2 - v2*w1]= ．

所以叉乘的實質為求得 x 右手定則拇指方向的向量，其長度為 x 構成的面積．

幾何含義為：可以引入一個向量（如這裡的 ），這個向量點乘 後的絕對值為三個向量構成的平行六面體的體積，其中 x = ．

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