利率曲線 curve

我們在上一篇債券中提到，如果要知道一個有（issuer）風險的債券，我們得除了知道無風險利率（OIS，Libor Rate等），還要有一個跟該債券發行人有關的風險增加值，我們一般使用 z-spread來表述。對於獲取（計算）某個issuer的利率曲線，我們有bootstrapping方法，非參數多項式方法，以及函數參數法等等。這裡我們簡單的介紹下bootstrapping方法，svensson模型。

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一、bootstrapping方法

使用該方法的前提條件是在市場上能夠找到該issuer發行的（liquid的）相同剩餘到期時間的債券；以及如果要求的是超過一年的zero rate，則與每期coupon對應的各個zero rates必須要存在。

例如：

市場上該issuer有一個剩餘期限為1年，票息率coupon 為2%，市場價格為99的債券，則有一年期的zero rate

從市場上一個剩餘時間為2年，票息率為4%，市場價格為100.8的債券，我們有2年期的zero rate

例子：curve from swap-rates ----single curve

我們定義swap-rate 為

其中δ為息票支付的間隔，y_s為swap-rate。該公式表示的就是一個今天簽訂的fix leg為y_s(t_n)，支付frequency為δ，剩餘時間為T的，floating flat 為flat的swap的價值（價格）為0。也就是說，fix leg的payoff在t_0的present value為1（100%）。也就等價於，今天以平價（par）發行一個票息率為y_s(t_n)，票息頻率為δ，剩餘時間為T的債券。我們看到 swap-rates有標準化的payoff時間點，所以我們可以用bootstrapping方法來獲得。

通過合併第n-period的

得到一個遞歸式子

通過這個基於6M EURIBOR-Curve的遞歸式子，可以求得各自term structure的swap rates。

經過6M Zero Rates interplate 得到的利率曲線的比較：

二 Svensson模型

該模型（1994）svensson對 Nelson-Siegel（1987）的拓展，用函數參數法來刻畫遠期利率（forward rate）。

Discount function 有

其中，

τ是time to maturity

y(τ)是yield to maturity

是待定的係數參數以及

我們知道spot yield function y(τ)與forward rate function f(τ)有如下關係

從而我們有一個可以描述forward rate的二次可導的表達式

假設在市場上已有第i個債券的價格Pi，以及相對於時間（τ）的票息(Ctj)。

給價格加個error process（white noise）得到

為了求出f(τ)里所有的未知參數，即解決一個非線性優化問題，我們minimise帶有相對應的duration為weight的實際值與函數值的平方差，即

通過Marquardt演算法，我們便可以解決該問題，得出待定參數。

今天我們講的比較數學，下一篇，我們講講比較具體的CDS產品。

參考文獻：

1.The handbook of fixed income securities, Frank Fabozzi

2. Zero-coupon yield curves - technical documentation, BIS

關於作者，佛系九〇青年，法蘭克福大學數學系專業，日常打理Q-Quant內容，FRM小白。

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