從氫原子的階梯算符到Sturm-Liouville型方程的因子分解技術

05-07

上一篇博文被編輯推薦了,在這裡要向大家致謝,感謝你們的閱讀,感謝編輯大大的推薦!

歷史回顧

1926年,Schr?dinger關於波動力學的第一篇文章 $extit{Quantisierung als Eigenwertproblem}$ (作為本徵值問題的量子化)中,首次討論了我們頗為熟悉的氫原子徑向本徵方程:

${-frac{1}{r^2}frac{d}{dr}r^2frac{d}{dr}+frac{l(l+1)}{r^2}-frac{2}{r}}u(r)=frac{E}{mu(alpha c)^2/2}u(r)$

在1940年的時候,當時已移居於都柏林的 Schr?dinger在愛爾蘭皇家科學院的學報上連續發表了三篇文章,介紹一種處理量子力學中的本徵值問題的簡單方法--因子分解法.

在文章中,Schr?dinger再次討論了氫原子的本徵值問題,這一次,他將方程的左邊進行了因子分解

$(-frac{d}{dr}-frac{l+2}{r}+frac{1}{l+1})(frac{d}{dr}-frac{l}{r}+frac{1}{l+1})color ed{-frac{1}{(l+1)^2}}$

從中,我們可以一眼看出,因子分解的余項指出了本徵值.

因子分解的基本原理

在知乎問題

一維諧振子的解中，為什麼量子數 n 不能為小數？?

www.zhihu.com

中,我以諧振子為例子,介紹了因子分解方法.下面的討論中將再次展開這個問題.

首先,我們考慮一簇一維繫統的哈密頓算符 ${H_l}$ ,他們中的每一個都可以如下的因子分解

$H_l=a_l^dagger a_{_l}+lambda_l$

這簇算符滿足以下的遞推關係

$H_{l+1}:=a_{l+1}^dagger a_{l+1}+lambda_{l+1}=a_la_l^dagger+lambda_l$

並且我們要求, $lambda_{l+1}>lambda_l$

我們發現,一個新哈密頓量無非是將上一個哈密頓量中的產生湮滅算符的位置做了個扭轉.

然後重新進行因子的分解.

由基本遞推關係 $a_{l+1}^dagger a_{l+1}+lambda_{l+1}=H_{l+1}=a_la_l^dagger+lambda_l$ 容易推出

$egin{eqnarray}H_{l+1}a_l=(a_la_l^dagger+lambda_l)a_l=a_l(a_l^dagger a_l+lambda_l)=a_lH_l\ a_l^dagger H_{l+1}=a_l^dagger(a_la_l^dagger+lambda_l)=(a_l^dagger a_l+lambda_l)a_l^dagger=H_la_l^dagger end{eqnarray}$

這時我們得到一個基本的結論;

將 $a_l$ 作用在 $H_l$ 的任意本徵態 $|l,lambda angle$ ,上可以將其提升為 $H_{l+1}$ 的本徵態 $|l+1,lambda angle$

$egin{eqnarray}H_{l}|l,lambda angle=lambda |l,lambda angle\ H_{l+1}a_l|l,lambda angle =a_lH_l|l,lambda angle=lambda a_l|l,lambda angleend{eqnarray}$

類似地,將 $a_{l}^dagger$ 作用在 $H_{l+1}$ 的本徵態 $vert l+1,varepsilon angle$ 上,可以將其投影為 $H_l$ 的本徵態 $vert l,varepsilon angle$

也就是說

$color{ ed}{a_l|l,lambda angle o|l+1,lambda angle;qquad a_l^dagger|l+1,varepsilon angle o|l,varepsilon angle}$

氫原子的能譜的導出

根據前面的論述,氫原子等效的徑向哈密頓量就是一簇 ${H_l}$ ,

$H_l=-frac{1}{r^2}frac{d}{dr}r^2frac{d}{dr}+frac{l(l+1)}{r^2}-frac{2}{r}$

我們先只是從形式上進行因子分解.

分解因子的目標是要類似於諧振子一樣,尋求一個一階的微分算符 $a_l=frac{d}{dr}+f(r)$ 以使得形如

$H_l=a_l^dagger a_l+lambda_l$ 的分解得以成立

注意,在定義內積時,積分體元中會帶有權函數,例如在對於徑向波函數的內積,權函數為 $r^2$ 即 $langle uvert v angle:=int_0^infty r^2u^*(r)v(r)dr$
而伴隨算符是用內積來定義的 $langle Q^dagger uvert v angle=langle uvert Q v angle$
所以對任意的一階常微分算符
$a=frac{d}{dr}+f(r)$ ,可以用分部積分法驗證 $a^dagger=-frac{d}{dr}-frac{2}{r}+f=a-2(frac{d}{dr}+frac{1}{r})$

我們先不急於解決因子分解的問題, 不妨停下來先作一點試探性的計算

考慮算符 $d_l=frac{d}{dr}+frac{alpha}{r}$ ,其中, $alpha$ 為一個參數

由上面的結論可以知道

$d_l^dagger=-frac{d}{dr}+frac{alpha-2}{r}$

因而有:

$d_{l}^dagger d_l=(-frac{d}{dr}+frac{alpha-2}{r})(frac{d}{dr}+frac{alpha}{r})=-frac{1}{r^2}frac{d}{dr}r^2frac{d}{dr}+frac{alpha(alpha-1)}{r^2}$

聰明的我們自然可以想到,令 $alpha=-l$ 或著 $alpha=l+1$ ,就完成了對 $H_l$ 中庫倫勢能外的部分的因子分解,進一步地,如果引入一個常數參數

$a_l=d_l+Lambda$

則對比一下就可得到

$(d_l^dagger+Lambda)(d_l+Lambda)-Lambda^2=-frac{1}{r^2}frac{d}{dr}r^2frac{d}{dr}+frac{l(l+1)}{r^2}+2Lambdafrac{alpha-1}{r}$

此時只需要令 $Lambda=-frac{1}{alpha-1}$ 即得到了完整的因子分解過程.

這裡看到,其實 $alpha$ 只能取 $-l$ ,否則 $l=0$ 時, $lambda_0$ 為無限大,這是不允許的

所以因子分解的結果為

$a_l=frac{d}{dr}-frac{l}{r}+frac{1}{l+1};quad a_l^dagger=-frac{d}{dr}-frac{l+2}{r}+frac{1}{l+1};quadlambda_l=-frac{1}{(l+1)^2}$

這個時候,還需要驗證一下遞推關係

$a_la_l^dagger+lambda_l=a_{l+1}^dagger a_{l+1}+lambda_{l+1}=H_{l+1}$

驗證如下:

$LHS=H_l+[a_l,a_l^dagger]=H_l+frac{1}{2}[a_l-a_l^dagger,a_l+a_l^dagger]=H_l+2frac{l+1}{r^2}=RHS$

下面將證明: $H_l$ 的能譜就是 ${lambda_{l},lambda_{l+1} ,lambda_{l+2}cdots,lambda_{infty}}$

一方面,我們可以構造性的說明, ${lambda_{l},lambda_{l+1} ,lambda_{l+2}cdots,lambda_{infty}}$ 必然都包含在 $H_l$ 的能譜中:

易知: ${lambda_{l},lambda_{l+1} ,lambda_{l+2}cdots,lambda_{infty}}$ 就是每一個 ${H_l,H_{l+1},H_{l+2}},cdots,H_{infty}$ 的基態能量(這一點可以類比為諧振子的零點能),這些基態可以記作:
$|l,lambda_l angle,|l+1,lambda_{l+1} angle ,|l+2,lambda_{l+2} angle ,|l+3,lambda_{l+3} angle ,cdots$
根據階梯算符的作用, $H_l$ 的能態:
$|l,lambda_{l+1} angle ,|l,lambda_{l+2} angle cdots|l,lambda_{infty} angle$
可以通過通過形如
$a_l^dagger|l+1,lambda_{l+1} angle ,a_{l}^dagger a_{l+1}^dagger|l+2,lambda_{l+2} angle ,a_l^dagger a_{l+1}^dagger a_{l+2}^dagger|l+3,lambda_{l+3} angle ,cdots$
這種算符的作用生成出來(忽略歸一化常數).

另一方面,我們還需要論證, $H_l$ 的任意本徵值 $lambda$ 必然落在序列 ${lambda_{l},lambda_{l+1} ,lambda_{l+2}cdots,lambda_{infty}}$ 之中,這一點並不是顯然的,而且也不是必然的,只有在一些特定的條件下才成立!

首先,從 $H_l$ 的任意本徵態 $|l,lambda angle$ 出發,通過 $k+1$ 次算符的連續作用, $a_{l+k}a_{l+k-1}cdots a_l |l,lambda angle$ ,如前面所說,所得的是 $H_{l+k+1}$ 的某個本徵態 $|l+k+1,lambda angle$ (這裡暫時把非物理的 $0$ 波函數也加進來便於討論),此時,我們可以計算一下 $|l+k+1,lambda angle$ 與它自己的內積

$ewcommand[1]{langle #1 angle} egin{align}&{l,lambda|a_l^dagger a_{l+1}^dagger cdots a_{l+k-1}^daggercolor{ ed}{ a_{l+k}^dagger a_{l+k}} a_{l+k-1} cdots a_{l+1}a_lvert l,lambda}\=&{l,lambda|a_l^dagger a_{l+1}^dagger cdots a_{l+k-1}^dagger (color{ ed}{H_{l+k}-lambda_{l+k})a_{l+k-1}}cdots a_{l+1}a_lvert l,lambda}\ =&{l,lambda|a_l^dagger a_{l+1}^dagger cdots a_{l+k-1}^dagger color{ ed}{ a_{l+k-1} (H_{l+k-1}-lambda_{l+k})}a_{l+k-2}cdots a_{l+1}a_lvert l,lambda}\ cdots \=&{l,lambda|a_l^dagger a_{l+1}^dagger cdots a_{l+k-1}^dagger a_{l+k-1} a_{l+k-2}cdots a_{l+1}a_l(color{ ed}{H_{l}-lambda_{l+k})}vert l,lambda}\=&{l,lambda|a_l^dagger a_{l+1}^dagger cdots a_{l+k-2}^dagger color{ ed}{a_{l+k-1}^dagger a_{l+k-1} }a_{l+k-2}cdots a_{l+1}a_lvert l,lambda}(lambda-lambda_{l+k})\cdots\ cdots \ =&(lambda-lambda_{l+k})(lambda-lambda_{l+k-1})(lambda-lambda_{l+k-2})cdots(lambda-lambda_{l}) end{align}$
根據Hilbert空間中內積的正定性.有
$(lambda-lambda_{l+k})(lambda-lambda_{l+k-1})(lambda-lambda_{l+k-2})cdots(lambda-lambda_{l})geq0$
假若 $lambda$ 不落在 ${lambda_{l},lambda_{l+1} ,lambda_{l+2}cdots,lambda_{infty}}$ 的序列中,又因為 $k$ 是我們任意取的,所以,可以歸納地證明 $lambda>lambda_{infty}$ .
在諧振子模型中, $lambda_{infty}=+infty,$ 在氫原子問題中, $lambda_{infty}=0$ ,這兩類情況下,都容易說明 $lambda>lambda_{infty}$ 時, $lambda$ 不是一個本徵值(點譜),所以這種情況就要排除在外.
所以說,為了滿足不等式的成立(此時為等號成立),必須使得 $lambda$ 落在 ${lambda_{l},lambda_{l+1} ,lambda_{l+2}cdots,lambda_{infty}}$ 的序列中.

最後對比原方程得到氫原子的能譜為 $E_l=-frac{1}{2} mu (alpha c)^2frac{1}{(n_r+l+1)^2}$ , $n_r=0,1,2,cdots$

根據上面的過程,我們也可以這樣斷言:

必然存在某個 $k$ 使得

$|l+k,lambda angle e0 quad ext{while} quad a_{l+k}|l+k,lambda angle=0$

此時可以確定

$lambda=lambda_{l+k}=-frac{1}{(l+k+1)^2}$

也就是說,其實 $vert l+k,lambda angle$ 就是 $H_{l+k}$ 的基態 $|l+k,lambda_{l+k} angle$

回憶到,在氫原子問題中,我們是定義 $n=l+k+1$ 為主量子數的,所以 $|l+k,lambda_{l+k} angle$ 可以標記為 $|n-1,lambda_{n-1} angle=R_{n,n-1}$

它實際上是由湮滅算符 $a_{n-1}$ 的解唯一確定的(在歸一化的意義下),直接對微分方程 $a_{n-1}psi=0$ 積分就可以算出

$R_{n,n-1}=vert n-1,lambda_{n-1} angle=c imes r^{n-1}exp(-frac{1}{n}r)$ , $c$ 由歸一化條件直接定出即可.

而跟據前面的結論,可以用產生算符 ${a_l^dagger}$ 依次作用在上面得到任意的 $R_{nl}$

$R_{nl}:=|l,lambda_{n-1} angle=c_{nl} imes a_l^dagger a_{l+1}^dagger a_{l+2}^daggercdots a_{n-2}^dagger R_{n,n-1}$

其中, $c_{n,l}$ 為歸一化常數.

可以從一張圖中了我們的構造方式

注:如果 $l$ 不是整數,我們的整個論證過程並沒有問題,只不過對不同的 $l$ ,序列 ${lambda_l,lambda_{l+1},cdots}$
可能就不重合了,但是任意一個 $H_l$ 的能譜仍然為 ${lambda_l,lambda_{l+1},cdots}$

通過因子分解構造二階線性常微分運算元的解

前面的討論中,我們體會到,因子分解技術對於定出二階微分運算元的本徵值這個過程是有著嚴格的適用條件的,需要經過論證,也就是說,並不是能夠因子分解 $H_l=a_{l}^dagger a_l+lambda_l$ ,就一定能推的出來 ${lambda_l}$ 覆蓋了所有的本徵值,這一點要十分清醒.這不難理解, 同一個微分運算元,邊界條件不同,則本徵值譜都會因之而不同,對於一般的邊界條件, $a_lpsi=0$ 有可能是沒有解的,所以 $lambda_l$ 就不是本徵值.

一個簡單的例子就是,將諧振子方程在一端的邊界條件限制為 $x=0,psi(x)=0$ ,則不可能用湮滅算符的解去定義基態了,因為這不符合邊界條件,所謂階梯算符,這個階梯的第一階都斷裂了.

但是,因子分解的產物 ${a_l,a_l^dagger}$ 仍可用為升降算符,他們的性質是不變的,再次回顧一下:

$color{ ed}{a_l|l,lambda angle o|l+1,lambda angle;qquad a_l^dagger|l+1,varepsilon angle o|l,varepsilon angle}$

在很多的Sturm -Liouville運算元的本徵值問題上,它們發揮了有意義的作用,我們下面來句幾個例子

連帶勒讓德方程

${-frac{1}{sin heta}frac{d}{d heta}sin hetafrac{d}{d heta}+m^2frac{1}{sin^2 heta}}Y( heta)=l(l+1)Y( heta)$

我們有:

$H_m=-frac{1}{sin heta}frac{d}{d heta}sin hetafrac{d}{d heta}+m^2frac{1}{sin^2 heta}=(-frac{d}{d heta}-cot heta)frac{d}{d heta}+m^2(1+cot^2 heta)$

注意,此時內積的權函數是 $sin heta$ ,所以可以斷定 $(frac{d}{d heta}+f( heta))^dagger=-frac{d}{d heta}-cot heta+f( heta)$

我們可以試探性的算一算,

對 $d_m=frac{d}{d heta}+alphacot heta$ ,有

$d_m^dagger=-frac{d}{d heta}+(alpha-1)cot heta$

$d_m^dagger d_m=(-frac{d}{d heta}-cot heta)frac{d}{d heta}+(1+cot^2 heta)alpha+alpha(alpha-1)cot^2 heta$

為了實現因子分解,可以令, $alpha=pm m$

但是只有令 $alpha=-m$ 才能滿足遞推關係

$H_{m+1}=a_{m}a_{m}^dagger+lambda_m$ ,

此時我們得到因子分解為

$H_m=a_m^dagger a_m+lambda_m$

其中

$a_m=frac{d}{d heta}-mcot heta,qquad a_m^dagger=-frac{d}{d heta}-(m+1)cot heta,qquadlambda_m=m(m+1)$

當 $m=l$ 時,原方程變成了最簡單的形式,

$a_{l}^dagger a_{l}Y=0$

由內積的正定性可以推出 $a_{l}Y=0$ ,我們定義此時的 $Y=P_{l}^{l}$

積分可得 $P_{l}^{l}=sin^{l} heta$

根據 $a_m$ 的性質,可以得到任意的 $P_{l}^m$

$P_{l}^m=a_{m}^dagger a^dagger_{m+1}cdots a_{l-1}^dagger P_{l}^{l}$

我們可以將算符寫成更為緊湊的形式

容易證明,對算符而言有恆等式:

$frac{d}{dx}+p(x)=(exp- {int^xp(s)ds})frac{d}{dx}exp(int^xp(s)ds)$

所以 $a_m^dagger=-frac{1}{sin^{m+1} heta}frac{d}{d heta}sin^{m+1} heta=frac{1}{sin^{m} heta}frac{d}{dcos heta}sin^{m+1} heta$

所以有

$egin{align}P_{l}^m=&a_{m}^dagger a^dagger_{m+1}cdots a_{l-1}^dagger P_{l}^{l}=frac{1}{sin^{m} heta} iggl(frac{d}{dcos heta}iggr)^{l-m} sin^{2l} heta end{align}$

這就是熟悉的Rodrigues 公式

球面貝塞爾方程

球面分波的徑向部分可以用球面貝塞爾函數來表示,其來源於亥姆霍茲方程的在球座標系下的分離變數

${-frac{1}{r^2}frac{d}{dr}r^2frac{d}{dr}+frac{l(l+1)}{r^2}}u(r)=u(r)$

此時我們令 $H_l=-frac{1}{r^2}frac{d}{dr}r^2frac{d}{dr}+frac{l(l+1)}{r^2}$

這個因子分解實際上在討論氫原子問題中已經導出過過一次

$a_l=frac{d}{dr}-frac{l}{r},a_l^dagger=-frac{d}{dr}-frac{l+2}{r}$ , $lambda_l=0$

若令 $l=0$ 則方程化為

${-frac{1}{r^2}frac{d}{dr}r^2frac{d}{dr}}u(r)=u(r)$

這個方程看似不好處理,但是重要回想起來我們在氫原子問題中曾用的變換

$R(r)=ru(r)$

則可化為 $-frac{d^2}{dr^2}R(r)=R(r)$

所以此時的本徵解為

$u_0(r)=Afrac{sin r}{r}+Bfrac{cos r}{r}$

其中,由邊界條件來定 $A,B$

所以 $u_l=a_{l-1}cdots a_1a_0u_0(r)$

用緊湊的寫法 $a_l=frac{d}{dr}-frac{l}{r}=r^lfrac{d}{dr}frac{1}{r^l}$

所以 $u_l=r^{l}igg(frac{1}{r}frac{d}{dr}igg)^lu_0(r)$ ,這就是Rayleigh 公式.

貝塞爾方程

${-frac{1}{ ho}frac{d}{d ho} hofrac{d}{d ho}+frac{n^2}{ ho^2}}u( ho)=u( ho)$

這可以看作是柱坐標系下亥姆霍茲方程的分離變數得到的本徵方程

$H_n=-frac{1}{ ho}frac{d}{d ho} hofrac{d}{d ho}+frac{n^2}{ ho^2}=(-frac{d}{d ho}-frac{1}{ ho})frac{d}{d ho}+frac{n^2}{ ho^2}$

注意此時,徑向積分的權函數為 $ho$ ,所以

${frac{d}{d ho}+f( ho)}^dagger=-frac{d}{d ho}-frac{1}{ ho}+f( ho)$

根據經驗應該可以知道算一算

$d_n=frac{d}{d ho}+frac{alpha}{ ho}$ , $d_n^dagger=-frac{d}{d ho}+frac{alpha-1}{ ho}$

$d_n^dagger d_n=-(frac{d}{d ho}+frac{1}{ ho})frac{d}{d ho}+frac{alpha^2}{ ho^2}$

所以可以令 $alpha=pm n$

而驗證一下遞推關係

$H_{n+1}=a_n a_{n}^dagger+lambda_n$

可知 $alpha=-n$ 才是滿足遞推關係的

所以 $a_n=frac{d}{d ho}-frac{n}{ ho}$ 這一點與球貝塞爾函數是一致的,可以看作是貝塞爾函數的共性.

類似的可得到如下的公式

$frac{u_{n}( ho)}{ ho^n}=iggl(frac{1}{ ho}frac{d}{d ho}igg)^{n-m} frac{u_{m}( ho)}{ ho^m}$

後記

參考我列出的文獻,從中了解到更多量子力學的精確解的因子分解技術

包括如何對氫原子的Dirac方程構造階梯算符,還有一般的超幾何函數的升降算符處理.

還有如何用階梯算符來計算一些量子力學的矩陣元的技術.

參考文獻

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[4]E. Schrodinger, Further Studies on Solving Eigenvalue Problems by Factorization,

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[5]Erik Nygren,Supersymmetric Quantum Mechanics(2010)