局部域（一）絕對值和賦值的定義

05-07

（一）絕對值（absolute value）與離散賦值（discrete valuation）

給定一個域 $K$ ，我們希望在上面定義一個度量。這個度量是由絕對值（absolute value）誘導的，就像線性空間 $V$ 上一個範數可以誘導一個度量。

Def. 域 $K$ 上的絕對值是一個乘法同態， $|cdot|:K^{ imes} ightarrowmathbb{R}_{>0},|xy|=|x||y|$ 。並且滿足：

（1） $|0|=0$ 。（2） $|x+y|leq|x|+|y|$ 。

如果還滿足（3） $|x+y|leq ext{max}{|x|,|y|}$ ，則稱之為nonarchimedean的，否則稱為archimedean的。如果 $|cdot|$ 把非零元都映成 $1$ ，則稱之為trivial absolute value。

Remark：容易驗證 $|cdot|$ 將 $K^{ imes}$ 中的單位根映到 $1$ ，並且 $|-x|=|x|$ 。 $|cdot|$ 誘導出 $K$ 上的度量 $d(x,y)=|x-y|$ 。（這個度量又誘導出 $K$ 上的拓撲：任給 $ain K$ ， $a$ 的開領域系由 $U(a,epsilon)={xin K~|~|x-a|<epsilon},epsilon>0$ 構成。）

在數論里我們更多地考慮nonarchimedean的情形，比如學過初等數論的同學應該熟知 $mathbb{Q}$ 上的p-adic絕對值 $|cdot|_{p}$ 就是第一個重要的例子。

對於nonarchimedean的絕對值，有個簡單的判別條件：

Ex1. $|cdot|$ 是nonarchimedean的絕對值 $Leftrightarrow$ $|cdot|$ 在 ${mcdot1~|~minmathbb{Z}}$ 上取值有界。例如 $ext{char}K=p$ 時， $K$ 上的絕對值一定是nonarchimedean的。

與絕對值相對應的是域上的離散賦值，即同態 $v:K^{ imes} ightarrowmathbb{Z},v(ab)=v(a)+v(b)$ 。並且還要滿足：（1） $v(0)=infty$ 。（2） $v(a+b)geq ext{min}{v(a),v(b)}$ 。當同態為滿射時，稱之是normalized的。（比如 $mathbb{Q}$ 上的p-adic賦值 $v_{p}$ ）

注意到 $mathbb{Q}$ 上的p-adic賦值與絕對值的關係： $|a|_{p}=(1/p)^{v_{p}(a)}$ 是由指數與對數確定的。對於一般情形，我們有：

（1）一個離散賦值可確定一個nonarchimedean的絕對值，定義 $|x|=c^{-v(x)},c>1$ ；

（2）一個（nontrivial的）nonarchimedean的絕對值可以確定一個加法賦值（加法賦值的定義是， $v:K^{ imes} ightarrowmathbb{R},v(ab)=v(a)+v(b)$ 且 $v(0)=infty$ ， $v(a+b)geq ext{min}{v(a),v(b)}$ ），定義 $v(x)=-log_{c}|x|,c>1$ 。

特別注意的是，如果在（2）中，如果 $v(K^{ imes})$ 在 $mathbb{R}$ （加法群）中離散， $v(K^{ imes})$ 一定是lattice，即 $v(K^{ imes})=mathbb{Z}c$ ，其中 $c$ 是某個非零實數。此時令 $ext{ord}=c^{-1}v$ ，它就成為一個normalized discrete valuation。

Remark： $|cdot|$ 稱為離散的，如果 $|K^{ imes}|$ 在 $mathbb{R}_{>0}$ （乘法群）中離散。

Ex2. $|mathbb{Q}^{ imes}|_{p}$ 在 $mathbb{R}_{>0}$ 中離散，但是 $|mathbb{Q}|_{p}$ 不在 $mathbb{R}$ 中離散。（hint：利用離散子空間的定義即可）

（二）nonarchimedean的拓撲與archimedean的不同

$K$ 是一個域，上面有非平凡的nonarchimedean絕對值 $|cdot|$ 。

Claim1. 若 $|a| e|b|$ ，則 $|a+b|= ext{max}{|a|,|b|}$

（如果 $v$ 是離散賦值， $v(a) e v(b)Rightarrow v(a+b)= ext{min}{v(a),v(b)}$ ）

利用三角不等式很容易證明。我們發現由 $|cdot|$ 誘導的度量拓撲與archimedean

情形十分不同：

Claim2. $|cdot|$ 是nonarchimedean絕對值，定義開球 $D(a,r)={xin K~|~|x-a|<r},r>0$ 。如果 $bin D(a,r)$ ，那麼 $D(a,r)=D(b,r)$ 。

這就是說，在一個半徑為 $r$ 的開球中任取一點再做一個半徑為 $r$ 的球，那麼這兩個球重合！顯然這在archimedean情形是不可能的。

Ex3. $K$ 是一個域， $|cdot|$ 是非平凡絕對值，如果滿足：對於任意 $D(a,r)={xin K~|~|x-a|<r},r>0$ ， $bin D(a,r)$ $Rightarrow$ $D(a,r)=D(b,r)$ 。那麼 $|cdot|$ 是nonarchimedean的。

（hint：反證，如果有 $x,y$ 使得 $|x+y|> ext{max}{|x|,|y|}$ ，考慮 $D(0, ext{max}{|x|,|y|})$ ）

（三）賦值環

設 $v$ 是 $K$ 上的normalized離散賦值，考慮以下：

$A={ain K~|~v(a)geq0},U={ain K~|~v(a)=0},mathfrak{m}={ain K~|~v(a)>0}$

Claim3. $A$ 是 $K$ 的子環，並且 $mathfrak{m}$ 是 $A$ 的唯一極大理想， $U=A^{ imes}$ ， $A$ 是離散賦值環。

Proof. 顯然 $A$ 是 $K$ 的子環， $mathfrak{m}$ 是 $A$ 的理想，並且 $U=A^{ imes}$ 。注意到 $A^{ imes}=A-mathfrak{m}$ ，所以 $mathfrak{m}$ 是極大理想，並且 $A$ 中其他proper的理想一定包含在 $mathfrak{m}$ 中，故 $mathfrak{m}$ 是唯一的極大理想。於是 $A$ 是一個local ring。所以，為了說明 $A$ 是離散賦值環，只用說明 $A$ 是PID的：

（1）假設 $pi$ 是 $A$ 中滿足 $v(pi)=1$ 的元素，那麼 $K^{ imes}$ 中任意一個元素 $x$ 可以表示成 $x=upi^{k}$ ，其中 $uin U$ ：

$v(x)=kRightarrow v(xpi^{-k})=0Rightarrow u=xpi^{-k}in U$ 。

（2）任取 $A$ 的理想 $mathfrak{a}$ ，設 $mathfrak{a}$ 中賦值最小的元素為 $x$ ， $v(x)=n$ ，我們說明 $mathfrak{a}=(pi^{n})$ ：

由（1）可知， $x=upi^{n}$ ，那麼 $pi^{n}Asubseteqmathfrak{a}$ ；反過來， $mathfrak{a}$ 中任意一個元素形如 $y=varepsilonpi^{m},mgeq n,varepsilonin URightarrowpi^{m-n}in A$ ，注意到 $pi^{m-n}in A$ ，於是 $y=varepsilonpi^{m}=varepsilonpi^{m-n}pi^{n}inpi^{n}A$ 。