狹義相對論（番外）——洛倫茲變換的推導

講述電動力學有2套方案，一種是物理的：從麥克斯韋方程組出發，來推導其他電磁學定律。還有一種是歷史的：從各種電磁學定律出發，來推導麥克斯韋方程組。

2套方案無所謂優劣，選擇而已。本專欄《狹義相對論》選擇的是物理的方式：從直觀的雙曲變換出發，來推導光速不變等各種物理結論。

此處番外篇，是想反過來：從光速不變出發來推導出洛倫茲變換。

開始正題。

假設光速不變，那麼在時空平面t-x上，一個明顯的結論是：x=t跟x=-t這2條直線在洛倫茲變換下不改變方向。基於此，做變數替換：u=t-x，w=t+x，那麼在(u,w)坐標系下，洛倫茲變換的數學表達式是：

u=au,w=bw

幾何上的含義是明顯的，u方向拉長為原先的a倍，w方向壓縮為原先的b倍，但是方向保持不變。所以狹義相對論其實挺簡單的，小學生隨意玩弄下橡皮泥就能搞出個洛倫茲變換出來。

a、b是2個未知參量，為了進一步簡化，除了光速不變外，還需要其他限制條件。

回到t-x坐標系，我在地面上花1秒的時間，走了v米，變換到我自身的參照系，時間變為t，空間變為0。當（1,v）這個點變成了（t,0），老參照系的(t,0)點，變成哪個點了呢？從對稱角度考慮，應該是變為了(1,-v)。

這裡假設速度v的變換跟速度-v的變換是對稱的。

返回u-w坐標系，上邊的過程可以表述為，當(u,w)變換為(c,c)這個點時，原先的(c,c)點會變成(w,u)，帶入洛倫茲變換的方程：

c=au,c=bw, w=ac,u=bc

由此得出ab=1，所以洛倫茲變換的最終表達式是：

u=au,w=(1/a)w

一個自然的結論是uw=uw，所以從光速不變出發，又回到了本專欄系列文章的出發點：洛倫茲變換的幾何圖像就是雙曲旋轉。

註：這裡沒有畫圖，幾何上多解釋幾句：t-x坐標系中速度為0的直線，在u-w坐標系下，方程是u=w，而(u,w)這個點關於u=w這條直線的對稱點就是(w,u)。

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