基礎群論(七): 次正規列下

05-08

這篇筆記將之前的部分結果推廣到運算元群, 然後簡單地考慮了運算元群上的鏈條件.

運算元群

正如之前提到的, 我們將群的基本概念和結果推廣到運算元群.

設 $Omega$ 是集合, $G$ 是群, $alpha:G imesOmega o G,(g,omega)mapsto g^omega$ 滿足對任意 $omegainOmega$ , 有 $(gmapsto g^omega)inoperatorname{End}G$ , 則稱 $(G,Omega,alpha)$ 是一個右運算元群(right operator group), 其中 $Omega$ 稱為運算元域(operator domain), $G$ 稱為 $Omega$ -群( $Omega$ -group). 左運算元群類似定義.

下面我們將用上、下標表示 $Omega$ -群上對應的記號, 如 $Hleq^Omega G$ 表示 $Omega$ -子群等.

設 $G$ 是 $Omega$ -群, $Ssubseteq G$ 稱為 $Omega$ -可容許的( $Omega$ -admissible), 若對任意 $omegainOmega$ , $sin S$ , 有 $s^omegain S$ . $Omega$ -群的 $Omega$ -子群( $Omega$ -subgroup)就是它的 $Omega$ -可容許的子群. 任意一族 $Omega$ -子群的交集也是 $Omega$ -子群. 對 $Ssubseteq G$ , 其生成的 $Omega$ -子群定義為所有包含 $S$ 的 $Omega$ -子群的交集, 記作 $S^Omega$ . 有 $S^Omega={(s_1^{epsilon_1})^{omega_1}(s_2^{epsilon_2})^{omega_2}cdots(s_k^{epsilon_k})^{omega_k}:s_iin S,epsilon_i=pm1,omega_iinOmega}$ . $Omega$ -正規子群、 $Omega$ -次正規子群等概念的定義是顯而易見的, 此處略去.

若 $Nlhd^Omega G$ , 則 $G/N$ 是 $Omega$ -群, 其中 $(Ng)^{omega}:=Ng^omega$ . 同樣地, 任意一族 $Omega$ -群 ${G_i:iin I}$ 的Descartes積與直積也是 $Omega$ -群, 其中 $(g_i)_{iin I}^omega:=(g_i^omega)_{iin I}$ .

設 $G,H$ 是 $Omega$ -群, 則同態 $varphi:G o H$ 稱為 $Omega$ -同態( $Omega$ -homomorphism), 若對任意 $omegainOmega$ , $gin G$ , 有 $(g^omega)^varphi=(g^varphi)^omega$ . $G$ 到 $H$ 的所有 $Omega$ -同態的集合記作 $operatorname{Hom}_Omega(G,H)$ . 若 $varphiinoperatorname{Hom}_Omega(G,H)$ , 則 $kervarphilhd^Omega G$ , $operatorname{im}varphileq^Omega H$ . 類似定義 $Omega$ -滿、單、自同態, $Omega$ -同構、自同構與記號 $operatorname{Aut}_Omega G$ 與 $operatorname{End}_Omega G$ 等.

定理 (同構定理) 設 $G,H$ 是 $Omega$ -群.
(i) 設 $varphi:G o H$ 是 $Omega$ -同態, 則 $kervarphilhd^Omega G$ 且 $G/kervarphicong^Omegaoperatorname{im}varphi$ .
(ii)設 $Nlhd^Omega G$ , $Kleq^Omega G$ , 則 $Ncap Klhd^Omega K$ 且 $K/(Ncap K)cong^Omega NK/N$ .
(iii) 設 $Kleq Hleq G$ 且 $K,Hlhd^Omega G$ , 則 $H/Klhd^Omega G/K$ 且 $(G/K)/(H/K)cong^Omega G/H$ .
定理 (對應定理) 設 $G$ 是 $Omega$ -群, $Nlhd^Omega G$ , $pi:G o G/N$ 為標準投影. 則 $Hmapstooverline{H}$ 是從 $G$ 中包含 $N$ 的所有 $Omega$ -子群的集合到 $G/N$ 的所有 $Omega$ -子群的集合的一一對應, 且

(i) $Kleq^Omega H$ 當且僅當 $overline{K}leq^Omegaoverline{H}$ , 且此時 $[H:K]=[overline{H}:overline{K}]$ .
(ii) $Klhd^Omega H$ 當且僅當 $overline{K}lhd^Omegaoverline{H}$ , 且此時 $H/Kcong^Omegaoverline{H}/overline{K}$ .
定理設 $G,H$ 是 $Omega$ -群, $varphi:G o H$ 是 $Omega$ -滿同態, 則 $Kmapsto K^varphi$ 是從 $G$ 中包含 $kervarphi$ 的 $Omega$ -[正規]子群的集合到 $H$ 的 $Omega$ -[正規]子群的集合的一一對應.

$Omega$ -群 $G$ 稱為 $Omega$ -單的( $Omega$ -simple), 若 $G$ 無非平凡正規 $Omega$ -子群. $Omega$ -群 $G$ 的 $Omega$ -列( $Omega$ -series)是指一列 $Omega$ -子群 $G=H_0 hd H_1 hdcdots hd H_m=1$ . $Omega$ -合成列( $Omega$ -composition series)是指因子均為 $Omega$ -單群的 $Omega$ -列. 此即 $Omega$ -列 $G=H_0 hd H_1 hdcdots hd H_m=1$ 中對任意 $i$ , $H_i=H_{i+1}$ 或 $H_{i+1}$ 是 $H_i$ 的極大 $Omega$ -正規子群. $Omega$ -列的精細與等價等概念類似定義.

引理 (Zassenhaus) 設 $G$ 是 $Omega$ -群, $A,A^*,B,B^*leq^Omega G$ 滿足 $Alhd A^*$ , $Blhd B^*$ . 則 $A(A^*cap B)lhd A(A^*cap B^*)$ , $B(B^*cap A)lhd B(B^*cap A^*)$ , 且 $frac{A(A^*cap B^*)}{A(A^*cap B)}cong^Omegafrac{B(B^*cap A^*)}{B(B^*cap A)}$ .
定理 (Schreier精細定理) 任意 $Omega$ -群 $G$ 的任意兩個 $Omega$ -列有等價的精細.

定理 (Jordan–H?lder) 任意 $Omega$ -群 $G$ 的任意兩個 $Omega$ -列等價.

群與模都是運算元群的特例: 任意群都是 $varnothing$ -群. 若 $M$ 是右 $R$ -模, 則 $M$ 是 $R$ -群, $R$ -子群即子模, $R$ -同態即模同態. 於是上面證明的定理的適用性大大增強了. 例如, 運用模上的Jordan–H?lder定理立得有限維線性空間的維數良定.

設 $Omega=operatorname{End} G$ 或 $operatorname{Aut} G$ 或 $operatorname{Inn} G$ (按正常意義作用於 $G$ ). $Omega$ -子群即全不變子群或特徵子群或正規子群. 此時的 $Omega$ -合成列分別稱為主全不變列(principal fully-invariant series)、主特徵列(principal characteristic series)、主列(principal series, chief series). 特別地, 當 $Omega=operatorname{Inn}G$ 時, $Omega$ -同態稱為正規同態(normal homomorphism).

鏈條件

設 $P$ 是 $leq$ 下的偏序集. 稱 $P$ 滿足極大條件(maximal condition), 若 $P$ 的任意非空子集有極大元素. 稱 $P$ 滿足升鏈條件(ascending chain condition, ACC), 若對任意無窮列 $a_1leq a_2leqcdots$ , 存在 $ninmathbb{N}_+$ , 使得對所有 $m>n$ , $a_m=a_n$ . 易證極大條件和升鏈條件是等價的. 對偶地定義極小條件(minimal condition)和降鏈條件(descending chain condition, DCC), 則也有極小條件等價於降鏈條件.

對任意 $Omega$ -群 $G$ , 設 $mathbf{F}(G)$ 是一族 $G$ 的 $Omega$ -子群, 滿足: 對任意 $Omega$ -群 $G,H$ 與 $Omega$ -同構 $varphi:G o H$ , 有 $mathbf{F}(H)={K^varphi:Kinmathbf{F}(G)}$ . 稱 $Omega$ -群 $G$ 滿足 $mathbf{F}$ -子群上的極大條件或極小條件或升鏈條件或降鏈條件, 若 $mathbf{F}(G)$ 滿足對應的性質, 其中 $mathbf{F}(G)$ 為 $subseteq$ 下的偏序集.

兩種特殊的情況值得單獨考慮: 當 $mathbf{F}(G)$ 為 $G$ 的所有 $Omega$ -子群時, $Omega$ -子群上的極大條件、極小條件分別記為 $ext{max-}Omega$ 與 $ext{min-}Omega$ . 特別地, 若 $Omega=varnothing$ , 則記為 $max$ 與 $min$ ; 若 $Omega=operatorname{Inn}G$ , 則記為 $ext{max-}n$ 與 $ext{min-}n$ . 當 $mathbf{F}(G)$ 為 $G$ 的所有 $Omega$ -次正規子群時, $Omega$ -次正規子群上的極大條件、極小條件分別記為 $ext{max-}Omega ext{s}$ 與 $ext{min-}Omega ext{s}$ . 特別地, 若 $Omega=varnothing$ , 則記為 $ext{max-s}$ 與 $ext{min-s}$ .

一些例子: 任意有限群滿足 $max$ 與 $min$ . $mathbb{Z}$ 滿足 $max$ 但不滿足 $min$ . $mathbb{Z}(p^infty)$ 滿足 $min$ 但不滿足 $max$ . $(mathbb{Q},+)$ 既不滿足 $min$ 也不滿足 $max$ .

命題設 $G$ 是 $Omega$ -群.
(i) 若 $G$ 滿足 $ext{max-}Omega$ 或 $ext{min-}Omega$ 或 $ext{max-}Omega ext{s}$ 或 $ext{min-}Omega ext{s}$ , $Hleq^Omega G$ , 則 $H$ 滿足對應的性質.
(ii) 若 $Nlhd^Omega G$ , 則 $N$ 與 $G/N$ 滿足 $ext{max-}Omega$ 或 $ext{min-}Omega$ 或 $ext{max-}Omega ext{s}$ 或 $ext{min-}Omega ext{s}$ 當且僅當 $G$ 滿足對應的性質.

但是注意, 滿足 $ext{max-}n$ 或 $ext{min-}n$ 的 $Omega$ -群的子群或商群都不一定滿足對應性質! 這是因為在討論子群或商群是否滿足 $ext{max-}n$ 或 $ext{min-}n$ 時, 運算元域實際上已經不一樣了. 事實上有反例:

滿足 $ext{max-}n$ 的 $Omega$ -群的正規子群不一定滿足 $ext{max-}n$ . 令 $T:=left<t ight>congmathbb{Z}$ , $A:={m2^n:m,ninmathbb{Z}}leq(mathbb{Q},+)$ , $alpha:T ooperatorname{Aut}A$ 定義為 $at:=2a$ , 則 $A times_alpha T$ 滿足 $ext{max-}n$ , 但 $Alhd A times_alpha T$ 不滿足 $ext{max-}n$ .

滿足 $ext{min-}n$ 的 $Omega$ -群的正規子群不一定滿足 $ext{min-}n$ . 下面的反例來自V. S. ?arin. 設 $p,q$ 是互異素數, 記 $F$ 為 $mathbb{F}_{q}$ 中 $p^i$ ( $iinmathbb{N}_+$ ) 次單位根生成的域, $X$ 為上述單位根組成的乘法群, $X$ 以域乘法作用在 $F$ 的加法群 $A$ 上. 則 $A$ 是 $X$ -單群, $A times X$ 滿足 $ext{min-}n$ , 但 $Alhd A times X$ 不滿足 $ext{min-}n$ .