金融衍生物定價模型總結與對比(black scholes, heston, local vola, hull white）

05-11

當世界靜了下來，很多時候自己卻還在尋覓。

昨天是世界讀書日，都說要麼行萬里路，要麼讀萬卷書；我只有鎖住自己，盤縮著軀體似乎在探視黑不見底的心裡。

昨天做的筆記，似懂非懂。希望對自己，對大家有所啟發。(微信小號：cadlag)

Black-Scholes-Model

Black Scholes Model不管在equity還是在fixed income領域都是標準模型。在對equity方面的應用始於1973. 其假設underlying（equity，index，fond，commodity）服從一個幾何布朗運動

在風險中性的世界中drift 項是

其中 r 是無風險利率，q 是連續時間的 dividend yield（紅利率）。當該underlying是index，我們要對分紅進行一個連續時間的紅利yield的估計；underlying是commodity是，要估計其連續時間的convenience yield。對於underlying是股票equity的情況下，大多數使用離散紅利的模型。（連續紅利率一般會提高option價值）。那個drift 項通常還帶有quanto-adjustment項（underlying與option貨幣單位不同和匯率風險要求對沖時），這個quanto-adjustment表示一個對沖成本，可以理解為一個FX-forward。FX-forward的計算公式是

其中 rho 是FX匯率與underlying價格的correlation，σ(S)是標的物價格的波動率，σ(FX)是FX匯率的波動率，其中FX必須以option的貨幣的幣種為單位表示。那麼包含quanto-adjustment 的 drift 項表示為

標的物underlying的波動率由underlying價格，option的strike以及time to maturity（ttm）決定。為了用市場上交易的option價格對black scholes model進行calibration，我們得通過市場上以該標的的option價格計算一個波動率曲面（volatility surface），獲得一個與 strike 和 ttm 有關的隱含波動率（implied volatility）。該隱含波動率σ(K,T)是通過那個波動率曲面（volatility surface）求得的。

對於歐式payoff的衍生品，即payoff只與標的物期末的價格相關，black scholes model有其相應的closed解。比如

在fixed income方面的應用（black 1976）中，到時間點 t 的 forward rate假設服從一個沒有 drift 的幾何布朗運動

在這個black model中對於plain vanilla利率option和swaption有closed解，所以他一般作為求這類產品的標準模型。

對cap/floor的解

對swaption的解

其他的產品比如bond-option, digital interest option的black model也存在closed解析解。

black model假設一個常數的波動率。對於不同市場的caps和swaption會有不同的各自的波動率。所以cap-volatility會以 ttm 和 strike 二維的矩陣表示；而swaption的波動率與 ttm，strike和swap 本身的tenor有關，所以是個三維的曲面。

Heston-model

heston model 是對上面black scholes model stochastic 波動率的擴展。該模型的兩條stochastic processes

在heston model 中 stochastic 方差描述為一個 mean-reversion 的 Ornstein Uhlenbeck process。常數描述 mean-reversion 的速度， θ 是方差長時間的均值，ν 是波動率的波動率（volatility of volatility），同時，方差過程與標的物價格過程的correlation 為 ρ 。 heston model裡面的參數可以通過市場上交易的期權calibration得到。市場上的歐式期權可以如下定價：

其中 F 表示forward price，無風險的 drift 可以是包含紅利和quanto-adjustment的形式:

比較複製的是式子 P_1和 P_2，它們是個以標的物對數化的價格的分布特徵函數的複數積分

複數積分的P參數的值表示為

對於期權的價格需要計算這兩個類似的複數積分，所以不是很有效率，所以Attari（2004）簡化了其只帶一個複數積分的計算方式：

對於put 期權的話我們可以根據call-put-parity來轉化。

Local-Volatility-Model

local volatility模型通過deterministic的關於標的物價格與到期時間的波動率函數來替代black scholes里恆定波動率。應用local volatility model，可以得到奇異期權緊密的（consistent）價格。其標的物服從下面的隨機過程

其中風險中性的 drift 是

在local volatility model里不存在歐式期權的closed解析解，但是在Dupire 框架中，local volatility可以通過期權的sensitivity描述， Dupire公式如下：

同時，local volatility也可以用 black scholes里 implied volatility θ 表示：

我們看到，上面的式子包含有implied volatility surface對K的一階、二階導數，但是通過市場數據得到的implied volatility surface不一定很平滑，所以不一定能準確的計算其導數。所以Dupire方法的應用，對volatility surface的平滑程度有所要求。通常需要通過SABR-Model，來求得平滑的波動率曲面。

SABR-Model 描述隨機波動率為一個diffusion過程和標的物的forward價格如下過程：

其中 α 表示波動率，0 <= ? <= 1是個槓桿參數，ν 是波動率的波動率，同時，兩個過程的相關係數是 ρ。在SABR-Model中對於black scholes世界裡的期權存在一個表示implied volatility σ_B 的式子：

通過這個式子SABR-Model可以利用市場進行calibration獲得implied volatility。對市場上多個不同ttm的期權的計算，通過least square 方法可以得到相應的ttm的 SABR-Parameter，通過cubic spline擬合，可以得到連續時間的SABR-parameter。

通過SABR模型求出的波動率曲線可以保證其平滑度，從而可以把他應用在local volatility模型中，其中要對 T 和 K 求導，可以用taylor 級數（Sepp）估計：

其中f（y）是通過泰勒級數分解的

有了local volatility ??(T,K)，就可以用MC蒙特卡洛模擬或FD finite difference方法求得衍生物的價格。

Hull-White-Model

hull white model是一個 short rate model（有次面試竟然答不出來），因為他是affine interest model，所以他對zero bond價格有closed解析解。有了這個性質，他可以與現實的interest structure對比擬合。同時，hull white model也是個mean-reversion模型。所以他是short rate model裡面的標準模型。他分有 1-factor 和 2-factor 。在1-factor模型中， short rate 服從一個帶drift的布朗運動：