【筆記】不動點定理（四）角谷靜夫不動點定理 Kakutanis Fixed Point Theorem

05-13

這一部分是角谷靜夫不動點定理。

Brouwer適用於函數，Kakutani適用於一般意義上的對應，這種對應又稱為「集值函數」。「對應」 $C:XRightarrow Y$ ，取值為 $Y$ 的某子集。也可視為函數 $F:X ightarrowmathcal{P}(Y)$ ，其中 $mathcal{P}(Y)$ 為 $Y$ 的冪集。

［引理］若 $X=Acup B$ （但不要求 $Acap B=varnothing$ ）， $f:A ightarrow Y$ ； $g:B ightarrow Y$ ； $h:X ightarrow Y$ ，而 $f(x)$ 在那些 $xin A$ 連續， $g(x)$ 在那些 $xin B$ 連續，且 $f(x)=g(x)$ 當 $xin Acap B$ 。定義 $h(x)=f(x)$ 當 $xin A$ ； $h(x)=g(x)$ 當 $xin B$ ,

則 $h(x)$ 在 $X$ 連續。

「Kakutani 不動點定理」 $X$ 為歐氏空間中非空緊凸集， $C:XRightarrow Y$ 有閉圖（即 $Graph C=left{(x,y)in X imes Y:yin C(x) ight}$ 為閉集），且任給 $xin X$ 有 $C(x)$ 為非空閉凸集。則存在 $x^{ast}in X$ ，使得 $x^{ast}in C(x^{ast})$ 。

［證明］

先在單純形上證明。

①對單純形 $Delta$ 做 $k$ 次重心剖分。將第 $k$ 次剖分所得到的頂點們記為 $V_{0}(k), V_{1}(k),…,V_{n}(k)$ 。

②構造引理中所使用的函數 $h(x)$ 。

將頂點集合 $left{V_{0}(k), V_{1}(k),…,V_{n}(k) ight}$ 定義為引理中所需要的 $A$ 。將 $co(V_{0}(k),V_{1}(k),…V_{n}(k))$ 定義為引理中所需要的 $B$ 。

任選 $x_{n}$ ，若 $x_{n}inleft{V_{0}(k), V_{1}(k),…V_{n}(k) ight}$ ，因 $C(x_{n})$ 取值為一個集合，則從集合中任選一個 $yin C(x_{n})$ ，並定義 $f(x_{n})=y$ 。因 $C$ 為閉圖，意即 $Graph C=left{(x,y):yin C(x) ight}$ 為閉集。也就是說取序列 $left{x_{k} ight}_{k}$ 和 $left{y_{k} ight}_{k}$ ，若 $x_{k} ightarrow x$ ， $y_{k} ightarrow y$ ，且 $(x_{k},y_{k})in Graph C$ （即 $y_{k}in C(x_{k})$ ），則有 $(x,y)in Graph C$ （即 $yin C(x)$ ）。因此，當 $x_{k} ightarrow x$ 且 $y_{k} ightarrow y$ ，我們定義的函數 $f(x_{k})=y_{k}$ 滿足 $f(x)=y$ 。而這就表示 $f$ 為連續函數。

若 $x_{n}in co(V_{0}(k),V_{1}(k),…,V_{n}(k))$ ，則將其表示為 $x_{n}=sum_{i}θ_{j}V_{j}(k)$ ，亦即 $x_{n}$ 可以表示為頂點 $V_{j}(k)$ 們的凸組合，定義 $g(x_{n})=sum heta_{j}g_{j}(V_{j}(k))$ ，而 $g_{j}(V_{j}(k))=f(V_{j}(k))$ 。即通過將單純形內任一點表示成頂點們的凸組合，我們便可以使用上一步中僅作用於頂點的函數 $f$ 來表示未必是頂點的任意一個 $x_{n}$ ，而為表示區別，此時的 $f$ 記為 $g_{j}$ 。而 $g$ 是連續函數 $g_{j}$ 的凸組合，仍然為連續函數。

定義 $h$ 為引理中所要求的樣子，即：若 $xin A$ 則 $h(x)=f(x)$ ，若 $xin B$ 則 $h(x)=g(x)$ 。且易知若 $xin Acap B$ ，則依據前述方式定義有 $g(x)=f(x)$ ，此時這兩種定義方式是一致的。

故而根據Brouwer，存在 $x_{n}^{ast}$ 使得 $x_{n}^{ast}=h(x_{n}^{ast})$ 。

③因各 $θ_{j}$ 在 $left[0,1 ight]$ 中，根據Bolzano-Weierstrass定理 「緊集中的實序列必有收斂子列」。取序列 $left{θ_{j_{k}} ight}_{k}$ 收斂於 $θ_{j}^{ast}$ 。其中序列的第 $k$ 項均取自相應的第 $k$ 次剖分。

同理，各 $h(V_{j})$ 在 $△$ 中，可取 $left{h_{k}(V_{j_{k}}) ight}_{k}$ 收斂於 $y_{j^{ast}}$ 。

而當剖分細緻程度越來越高，即 $k ightarrowinfty$ 時（為了便於理解，此處可以視之為，隨著越剖越細每個小子形的面積趨近於 $0$ ），有 $left{V_{j_{k}} ight}_{k}$ 以及 $left{x_{k} ight}_{k}$ 收斂於同一個 $x^{ast}$ 。

④當每一項 $(V_{j_{k}},h_{k}(V_{j_{k}}))in Graph C$ ，已知C有閉圖，則極限 $(x^{ast}, y_{j}^{ast})in Graph C$ ，即 $y_{j}^{ast}in C(x^{ast})$ 。

而 $x^{ast}=h(x^{ast})=sum_{j}θ_{j}^{ast}y_{j}^{ast}$ ，其中 $y_{j}^{ast}in C(x^{ast})$ 。這就意味著 $x^{ast}in coC(x^{ast})$ ，但已知 $C$ 為凸值的，因而 $coC(x^{ast})=C(x^{ast})$ 。即得 $x^{ast}in C(x^{ast})$ 。

在單純形上得證。

將其推廣到一般的非空緊凸集時，步驟與Brouwer類似，暫略。 $square$

脫胎於：

Border K C. Fixed point theorems with applications to economics and game theory[M]. Cambridge university press, 1989.

Ichiishi T. Game theory for economic analysis[M]. Elsevier, 2014.

俞建. 博弈論與非線性分析[M]. 科學出版社, 2008.