麻省理工線性代數筆記（五）-置換，轉置，對稱矩陣

本講主要內容：

• 置換矩陣，轉置矩陣，對稱矩陣
• 向量空間與子空間

1. 置換矩陣P（Permutation）

P是單位矩陣交換行得到的矩陣，總個數為n的階乘。

高斯消元過程需要置換矩陣完成行交換時，此時A=LU需要怎麼修正呢？

PA=LU（先把行變換成正確的位置，所謂正確的位置就是左乘P之後，高斯消元過程中不需要再進行行交換了）

2. 轉置矩陣（Transpose）

3. 對稱矩陣：

關注有特性的矩陣，它們會得到一些更優雅的公式。如：

4. 向量空間

• 在向量空間中任意向量的線性組合（加法和數乘）均還屬於此向量空間（封閉性）。
• 向量空間不局限於實數空間，只要滿足對加法和數乘的封閉性，均可成為向量空間。
• 向量空間中肯定包含零向量（當數乘常數是0時），經常作為是否線性空間的判別標準。

我們有時候更關注子空間情況，先給出定義：

向量子空間定義：

舉例：

• 在2維平面中，過原點的一條直線是2為平面的向量子空間，不過原點的直線不是向量空間（不包含零向量）
• 所有2維平面的子空間：整個平面；過原點的直線；零向量。
• 所有3維的子空間：整個3維空間；經過原點的平面；經過原點的直線；零向量。
• 矩陣的列空間

圖中紫色平面為A的列空間。

本講內容主要是介紹向量空間基本知識。