高等代數筆記整理（一）

05-16

引語

高等代數是一門抽象化的學科，他的核心任務，就是把我們以往習以為常的一些數學概念抽象化，提煉出他們的本質，以此來明晰他們的結構與共同的性質。

但是高代又顯然不單單是抽象，其實在國外的很多地方尤其是歐美，都是不區分高代和線代的名字的，統一稱為線性代數。

為什麼呢？

因為高代或者線代其實就是研究線性空間的一門學科，而高代與線代的關係就像數分和高數，所以說，線性空間才是高代的研究主體。

然而包括線性空間衍生出來的一切概念大都是從前沒有的，所以要從我們認識的具體物中一件件的抽象，並不斷地對這個體系進行豐富與完善，於是眾多的概念就成為了很多人頭疼代數學的一個原因。

但是，不管怎麼樣，這些定義與概念大部分都有跡可循的，只要是一直隨著主線思考下去，思路也就會變得十分自然。

遺憾的是，很多教材為了敘述方便，硬是將一些東西生搬硬套，凡事不管三七二十一，只要邏輯可證可推也就不管什麼思路的來源問題了。

對此，我十分推薦Sheldon Axler的《Linear Algebra Done Right》一書，說來慚愧，這本書我也就翻過寥寥幾頁（捂臉）。

但是我還是想鄭重推薦一下，一方面是因為很多看過這本書的學姐學長都大聲叫好，另一方面這本書摒棄了一些傳統的做法，直接以線性空間與線性映射為主線展開闡述，思路顯得更清晰自然些，這個系列筆記我也會將這本書作為主要教材參考。

好了，廢話不多說，現在我們正式開始！

線性空間（Linear Space）

我們說，高等代數主體是研究線性空間的，所以我們的首要任務就是搞清楚所謂的線性空間到底是一個什麼東西。

在給出他的定義之前，有興趣的同學可以看一個我在網上搬來的一篇文章，講的很透徹，相信大家讀過這篇文章可以對線性空間有一個很好的直觀上的理解，以下是鏈接

高等代數研究線性空間的意義是什麼呢？

為了更好地理解，我們這裡先引入向量空間（線性空間的一類特殊情況），之後將會繼續抽象出線性空間的概念進行討論。

在正式討論向量空間之前我們先做一些準備工作，首先給出數域的定義。

數域（Number Field）

Def：複數集的一個子集是一個數域 $Leftrightarrow$

$0,1in K$
$a,bin KRightarrow apm b,abin K;a,bin K$ 且 $b e0Rightarrowfrac{a}{b}in K$

顯然，這裡的條件 $0,1in K$ 可以減弱為 $1in K$ （因為 $0in KRightarrow1-1in K$ 即 $0in K$ ）

有些人可能就會問了，既然可以簡化條件，為什麼還要寫成這樣呢？

其實這是為了符合域的整體定義的形式。

你應該也注意到了，數域的定義其實就相當於對我們通常所說的加減乘除（除數不為0）封閉，而減和除又相當於加和乘的逆運算。

我們正是通過這個來抽象出域的概念的（數域是一個特殊的域），它的定義這裡就不給出了，有興趣的同學可以百度一下，我們之後講線性空間的時候會重點討論它的性質。

顯然，數域上的加法和乘法滿足下列性質

Prop

1.交換律（Commutativity）

$a+b=b+a;ab=ba$

2.結合律（Associativity）

$left( a+b ight)+c=a+left(b+c ight);left( ab ight)c=aleft(bc ight)$

3.加法、乘法單位元(Identity)

$exists0 in K$ ,使得 $forall a in K,a+0=0+a=a;exists1in K$ ,使得 $1a=a1=1$

4.加、乘法逆（AdditiveMutiplicative Inverse）

$forall ain K,exists bin K$ ,使得a+b=b+a=0;

$forall ain K ,a e 0,exists bin K$ ,使得 $ab=ba=1;$

5.分配律（Distributivity）

$forall a,b,cin K,aleft(b+c ight)=ab+ac$

向量（Vector）

大家高中都學過平面向量，是（a,b）的形式，實際我們稱其為二維向量（你可以將其理解為一個二維的點）。

在這裡我們將其稍加推廣就可以得到n維向量 $left(a_{1},a_{2},cdots,a_{n} ight)$ 。注意，這裡的 $a_{1},a_{2},cdots,a_{n}$ 是屬於某個數域的數。（高中學的平面向量實際上是實數域R上的數）

我們知道，數域K中的元素都是一個數的形式，如果此時的K=R的話，那麼他的元素就全在我們通常所說的數軸上，這些數組合在一起成為一個集合K，這是一維的形式。

現在我們拓展到二維，也就是我們通常所見的平面，此時這裡的元素可以寫成（a，b），即二元有序數組的形式。

由全體類似的這種形式組成的一個集合我們就定義為 $K^{2}$ 。

注意，這裡的a，b必須屬於K（因為是寫成K的二次冪的形式）。

好了，準備工作已經能夠完成，現在我們給出向量空間的定義。

向量空間（Vector Space）

Def：數域K上所有n元有序數組組成的集合（記作 $K^{n}$ ）,連同定義在它上面的加法運算和數量乘法運算（見下），及其滿足的加法交換律，結合律等8條運演算法則一起，稱為數域K上的n維向量空間（也記作 $K^{n}$ ），並把 $K^{n}$ 中的元素稱為一個n維向量。

注意，這個定義並不是普遍意義上的向量空間。

其中， $K^{n}$ 中的加法與數量乘法運算規定如下：

設 $alpha=left( egin{array}{} a_{1}\ a_{2}\ vdots \a_{n} end{array} ight), eta=left( egin{array}{} b_{1}\ b_{2}\ vdots \b_{n} end{array} ight), k in K$ ，則 $alpha+eta riangleq left( egin{array}{} a_{1}+b_{1}\ a_{2}+b_{2}\ vdots \a_{n}+b_{n} end{array} ight), k alpha riangleq left( egin{array}{} ka_{1}\ ka_{2}\ vdots \ka_{n} end{array} ight)$

同時，我們定義減法運算如下： $alpha-eta riangleq alpha+left(-eta ight)$ ,這裡符號 $「 riangleq」$ 表示「定義為」的意思。

注意，這個運算並不是原先就有的，它是我們定義出來的，這點很重要。

容易驗證，它們滿足以下性質：(其中， $alpha,eta in K^{n},k.l in K$ )

加法交換律： $alpha+eta=eta+alpha$
加法結合律： $left(alpha+eta ight)+gamma=alpha+left(eta+gamma ight)$
加法單位元：我們記 $0=left(0,0,cdots,0 ight),則forall alpha in K^{n},alpha+0=0+alpha=alpha$ ，我們稱0為 $K^{n}$ 的零元。
加法可逆： $forall alpha=left(a_{1} ,a_{2},cdots,a_{n} ight),exists -alpha in K^{n}$ ,使得 $alpha+left(-alpha ight)=left(-alpha ight)+alpha=0$ 這裡，我們稱 $left( -alpha ight)$ 是 $alpha$ 的負元，其中 $-alpha=left(-a_{1},-a_{2},cdots,-a_{n} ight)$
數乘單位元： $forall alpha in K^{n},1alpha=alpha 1=alpha$
數乘分配律： $kleft(l alpha ight)=lleft(k alpha ight)$
分配律一： $left(k+l ight)alpha=k alpha +l alpha$
分配律二： $kleft(alpha+eta ight)=k alpha +k eta$

有了這些，我們再來定義普遍意義上的向量空間。

Def：設V是一個帶有加法與數量乘法的集合，並滿足以下八條性質(其中， $alpha,eta in V,k.l in K$ )

加法交換律： $alpha+eta=eta+alpha$
加法結合律： $left(alpha+eta ight)+gamma=alpha+left(eta+gamma ight)$
加法單位元：我們記 $0=left(0,0,cdots,0 ight),則forall alpha in V,alpha+0=0+alpha=alpha$ ，我們稱0為 $V$ 的零元。
加法可逆： $forall alpha=left(a_{1} ,a_{2},cdots,a_{n} ight),exists -alpha in V$ ,使得 $alpha+left(-alpha ight)=left(-alpha ight)+alpha=0$ 這裡，我們稱 $left( -alpha ight)$ 是 $alpha$ 的負元，其中 $-alpha=left(-a_{1},-a_{2},cdots,-a_{n} ight)$
數乘單位元： $forall alpha in V,1alpha=alpha 1=alpha$
數乘分配律： $kleft(l alpha ight)=lleft(k alpha ight)$
分配律一： $left(k+l ight)alpha=k alpha +l alpha$
分配律二： $kleft(alpha+eta ight)=k alpha +k eta$

那麼就稱V是數域K上的一個向量空間。（注意和上面定義的區別。）

抱歉，之前的定義不夠準確，感謝看官指正。

在真正入手對向量空間結構的討論之前，我們需要先理清自己的思路，也就是先搞清楚我們可以從哪幾個方面入手。

我們知道，向量空間實質上是一個特殊集合附上兩個運算（加法和數乘）以及八條運演算法則，而要研究一個集合的結構，我們可以從很多種角度入手。

比如把集合劃分為很多個他的子集，或者將集合中的元素進行分類，又或者研究什麼樣的線性空間可以分到同一類，也就是找到一個可以刻畫線性空間的量，還有就是找出一個向量空間的核心，即通過少數向量可以刻畫出整個向量空。

這些我們後面都會一一講到，這裡我們先來介紹其中的一種角度，即尋找向量空間的「核心」，我們通常稱這個核心叫做基。

引入基的概念之前，我們先來了解一些預備知識。

線性表出（Linear Expression）

Def：在向量空間 $K^{n}$ 中，給定向量組 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ ，如果存在 $k_{1},k_{2},cdots,k_{s}in K$ ,使得 $eta=k_{1}alpha_{1}+k_{2}alpha_{2}+cdots +k_{s}alpha_{s}$

則稱 $eta$ 可由向量組 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ 線性表出。

下面列出有關線性表出的兩個性質

向量組內的向量可以由該向量組線性表出( $alpha_{i}=0alpha_{i}+cdots+1alpha_{i}+cdots+0alpha_{s}$ )
零向量可由任一向量組線性表出。（係數全取0即可）

這裡我們再引入一個向量組等價的概念

Def：如果向量組 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ 中的每個向量都可以由向量組 $eta_{1},eta_{2},cdots,eta_{r}$ 線性表出，我們就稱向量組 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ 可由向量組 $eta_{1},eta_{2},cdots,eta_{r}$ 線性表出，如果兩個向量組可以互相線性表出，那麼我們就稱這兩個向量組等價，記作

$left{alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s} ight}cong left{eta_{1},eta_{2},cdots,eta_{r} ight}$

下面我們著手尋找在一系列等價的向量組中最簡單的一種（向量個數最少），那怎麼樣就向量最少呢？

很自然的我們就會想到用之前的線性表出來簡化一個向量組，那麼與 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ 等價的向量組中「最簡單」的無非就是要求向量組中任一向量不可以由其他全部向量線性表出的。

當然，他還要等價的基本條件，能線性表出 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ ，我們稱這樣的向量組為 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ 的極大線性無關組，它的定義如下：

Def：向量組 $alpha_{i_{1}},alpha_{i_{2}},cdots,alpha_{i_{t}}$ 是 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ 的極大線性無關組 $Leftrightarrow$

$alpha_{i_{1}},alpha_{i_{2}},cdots,alpha_{i_{t}}$ 可以線性表出 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ ，其中， $alpha_{i_{1}},alpha_{i_{2}},cdots,alpha_{i_{t}}$ 是 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ 的一個部分組
$alpha_{i_{1}},alpha_{i_{2}},cdots,alpha_{i_{t}}$ 中任一向量不可由該向量組中其他向量線性表出

這裡我們舉一個例子來加深大家的理解

Example

向量組 $left{left( egin{array}{} 1\ 0\ 0\ end{array} ight) ，left( egin{array}{} 0\ 1\ 0\ end{array} ight) ，left( egin{array}{} 4\ 3\ 0\ end{array} ight) ight}$ 的一個極大線性無關組為 $left{left( egin{array}{} 1\ 0\ 0\ end{array} ight) ，left( egin{array}{} 0\ 1\ 0\ end{array} ight) ight}$ ，當然，向量組的極大線性無關組通常都不是唯一的，就像這個向量組的極大線性無關組還可以是

$left{left( egin{array}{} 0\ 1\ 0\ end{array} ight) ，left( egin{array}{} 4\ 3\ 0\ end{array} ight) ight}$ 或者 $left{left( egin{array}{} 1\ 0\ 0\ end{array} ight) ，left( egin{array}{} 4\ 3\ 0\ end{array} ight) ight}$ 。

在數學中，不唯一的東西往往是麻煩的，就像這裡，由於極大線性無關組有很多個，我們往往很難辨認出一個向量組是否是它的極大線性無關組，於是我們就想找到極大線性無關組的一些特性，即同一向量組的極大線性無關組之間有什麼聯繫或者有什麼共同的關係。

從上面的例子我們就可以看出，他們都是只含有2個向量的，那麼我們就猜測，是否同一個向量組的不同極大線性無關組中的向量個數都相同呢？

為了探討這個問題，我們先引入向量組線性相關與線性無關的概念。

線性相關與線性無關（Linear Dependent And Linear Independent）

Def：在 $K^{n}$ 中，如果存在一組不全為零的數 $k_{1},k_{2},cdots,k_{s}in K^{n}，sgeq1$ ，使得

$k_{1}alpha_{1}+k_{2}alpha_{2}+cdots+k_{s}alpha_{s}=0$

那麼就稱向量組 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ 是線性相關的，否則就稱該向量組是線性無關的。（即方程 $k_{1}alpha_{1}+k_{2}alpha_{2}+cdots+k_{s}alpha_{s}=0$ 只有零解，即只有解 $k_{1}=k_{2}=cdots=k_{s}=0$ ）。

這裡有一個等價條件

Prop

向量組 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ 線性無關 $Leftrightarrow$ $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ 中任一向量不可由該向量組中其他向量線性表出

這個證明作為練習留給大家。

右邊的命題是不是有點熟悉？

這不就是剛才極大線性無關組定義中的第二個條件嗎！

所以，極大線性無關組也可以這樣定義

Def：向量組 $alpha_{i_{1}},alpha_{i_{2}},cdots,alpha_{i_{t}}$ 是 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ 的極大線性無關組 $Leftrightarrow$

$alpha_{i_{1}},alpha_{i_{2}},cdots,alpha_{i_{t}}$ 可以線性表出 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ ，其中， $alpha_{i_{1}},alpha_{i_{2}},cdots,alpha_{i_{t}}$ 是 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ 的一個部分組
$alpha_{i_{1}},alpha_{i_{2}},cdots,alpha_{i_{t}}$ 線性無關

這下知道為啥叫極大線性無關組了吧？

下面我們再討論一下極大線性無關組的存在性，也就是是否任一向量組都有極大線性無關組呢？（這裡暫且只討論含有有限多個向量的向量組）

答案是肯定的。

因為根據定義，我們可以先在向量組中隨便選取一個向量，然後往裡面隨便添一個向量看由這兩個向量組成的向量組是否線性無關，如果線性相關就換另一個向量嘗試，接著再添入第三個向量......以此類推。

於是，只要向量組的個數是有限的，就一定可以找到一個所含向量個數小於或等於它的極大線性無關組。（含有無限多個向量的向量組我們這裡先不做討論）

這就證明了只含有限向量向量組的極大線性無關組必然存在，實際上在這裡我們也相當於給出了一個求極大線性無關組的方法。

我們現在從多個角度看下線性相關與線性無關

Prop

1.從線性組合來看（定義）

2.從線性表出來看（這正是上面所講的）

3.從向量組線性表出一個向量來看：設向量 $eta$ 可以由向量組 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ 線性表出，則

$alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ 線性無關 $Leftrightarrow$ $eta$ 由 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ 表出的表出方式唯一（即只存在一組數 $k_{1},k_{2},cdots,k_{s}in K$ ，使得 $eta=k_{1}alpha_{1}+k_{2}alpha_{2}+cdots+k_{s}alpha_{s}$ ）

$alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ 線性相關 $Leftrightarrow$ $eta$ 由 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ 表出的表出方式有無窮多種（可以證明只要表出方式不唯一就有無窮多種表出方式，這裡也留作練習給大家）

這裡我們簡單證明一下第一個，第二個的證明方法類似。

proof：

假設表出方式不唯一，則存在 $K$ 中不全相同兩組數的 $k_{1},k_{2},cdots,k_{s}$ 和 $l_{1},l_{2},cdots,l_{s}$ 使得

$eta=k_{1}alpha_{1}+k_{2}alpha_{2}+cdots+k_{s}alpha_{s}$

$eta=l_{1}alpha_{1}+l_{2}alpha_{2}+cdots+l_{s}alpha_{s}$

兩式相減,得

$left(k_{1}-l_{1} ight)alpha_{1}+left(k_{2}-l_{2} ight)alpha_{2}+cdots+left(k_{s}-l_{s} ight)alpha_{s}=0$

由 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ 線性無關知

$left(k_{1}-l_{1} ight)=left(k_{2}-l_{2} ight)=cdots=left(k_{s}-l_{s} ight)$

於是， $k_{1}=l_{1},k_{2}=l_{2},cdots,k_{s}=l_{s}$ ,與假設矛盾，這就證明了表法唯一。

4.從向量組與它的部分組的關係來看

$alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ 線性無關 $Rightarrow$ $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ 中的任一部分組 $alpha_{i_{1}},alpha_{i_{2}},cdots,alpha_{i_{t}}$ 線性無關

$alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ 中的一個部分組 $alpha_{i_{1}},alpha_{i_{2}},cdots,alpha_{i_{t}}$ 線性相關 $Rightarrow$ 整個向量組 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ 線性相關

5.從向量組與它的延伸組與縮短組的關係看：

如果一個向量組線性無關，那麼把每個向量添上m個分量（所添分量的位置對於每個向量都一樣）得到的延伸組也線性無關。

如果一個向量組線性相關，那麼把每個向量去掉m個分量（去掉的分量的位置對於每個向量都一樣）得到的縮短組也線性相關。

同樣的，我們這裡只給出第一個的證明。

proof：

設 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ 線性無關，並它的一個延伸組設為 $widetilde alpha_{1},widetilde alpha_{2},cdots,widetilde alpha_{s}$ ,則從

$k_{1}widetilde alpha_{1}+k_{2} widetilde alpha_{2}+cdots+ k_{s}widetilde alpha_{s}=0$ 可得出 $k_{1}alpha_{1}+k_{2}alpha_{2}+cdots+k_{s}alpha_{s}=0$ ，又由 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ 知

$k_{1}=k_{2}=cdots=k_{s}=0$ ，於是 $widetilde alpha_{1},widetilde alpha_{2},cdots,widetilde alpha_{s}$ 線性無關。

由此我們可以認識到，線性相關與線性無關在這門課里是一個相當深刻的概念，通過這個概念我們可以研究線性空間的很多方面。

實際上，在整個高等代數課程中它一直都十分活躍，我們以後還可以從更多的角度來刻畫這個概念，隨著我們討論的深入，你會越來越發現這個概念的美妙之處。

小結

作為這個系列的第一篇，我們引入了線性空間的一些最基本的概念，雖然闡述的思路是沿著《Linear Algebra Done Right》,但是由於我學的時候用的是丘維聲的教材，所以這裡的具體的內容還是大部分引自丘的書，只是為了讓大家更好地理解，我對其在順序上進行了一些重組。

下一篇中我會重點將篇幅用來探討同一向量組的不同間的共同性質（別忘了，我們探討線性相關與線性無關的目的正在於此，可是由於這不是一個輕鬆活，因此我準備把它留在下一篇詳盡闡述）

同樣，我們還會在下一篇中解決另一個與之類似的問題，即如何用少數幾個向量表示一個向量或者它的一個子空間（我們將會在下一篇中給出它的定義）。

下面是一些練習

Exercise

嘗試證明向量組 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ 線性無關 $Leftrightarrow$ $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ 中任一向量不可由該向量組中其他向量線性表出。
證明只要表出方式不唯一就有無窮多種表出方式。
試求向量組 $alpha_{1}=left( egin{array}{}- 1\ 3 \ 2\ 0 end{array} ight),alpha_{2}=left( egin{array}{} 4\ 1 \ 2\-3 end{array} ight),alpha_{3}=left( egin{array}{} 6\ 2 \ 4\-2 end{array} ight),alpha_{4}=left( egin{array}{} 3\-2 \ 0\ 1 end{array} ight)$ 的一個極大線性無關組。
設向量組 $eta_{1},eta_{2},cdots,eta_{r}$ 可以由向量組 $alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{s}$ 線性表出，如果 $r >s$ ,那麼 $eta_{1},eta_{2},cdots,eta_{r}$ 線性相關

好了，今天我們就先談到這裡，這也算是從真正意義地在知乎上亮相的第一篇筆記了，由於之前不知道知乎公式的編輯用的是Latex，所以只好苦著臉邊打邊學（羞愧臉），這才過了這麼長時間才打出來，實在抱歉，現在熟練些了，以後努力每個星期更新一篇。

當然，任何筆記都具有著作權，不可隨意轉載和剽竊，如果轉載請註明出處。

最後，由於這是第一次嘗試，免不了很多做得不好的地方，歡迎各位看官拍磚指正，有一些好的建議也可以私信我啊，當然也歡迎有興趣的同學在這裡投稿自己的作品，豐富專欄的多元性，多謝大家支持，小弟在此Orz了~~

高等代數筆記整理（一）

目錄

引語

線性空間（Linear Space）

數域（Number Field）

向量（Vector）

向量空間（Vector Space）

線性表出（Linear Expression）

線性相關與線性無關（Linear Dependent And Linear Independent）

小結

Exercise