麻省理工線性代數筆記（四）-A=LU

本講主要內容

• AB的逆，A的轉置
• A=LU（沒有行交換的情況）
• 高斯消元法求解方程組的消耗

1. AB的逆，A的轉置

例子:正向是先穿襪子後穿鞋，反向是先脫鞋再脫襪子。。。。

A的轉置的逆等於A的逆再轉置。

2. A=LU（沒有行交換的情況）

2.1分解過程

假設有一個可逆矩陣A，且消元過程中不需要行變換，通過高斯消元法，終將得到一個上三角矩陣U，需要關注的是A和U之間有什麼聯繫。

拿簡單2X2的矩陣舉例，

第二個方程便是我們通過高斯消元得到的A=LU，L是下三角矩陣，U是上三角矩陣。

繼續推廣3X3的矩陣，

我想講到這裡，我們可以將A=LU推廣到nxn矩陣（可逆，高斯消元過程中不需要行交換）

2更好的平衡方式：

如果我們將U寫成對角矩陣的上三角矩陣相乘的形式，即

則

3高斯消元法的消耗

解方程組Ax=b，分成兩步，前向消元，後向回代。

（1）先看消元過程：

對於nxn的矩陣，每消去一個元素需要一次乘法和一次減法，我們將一次加法和一次乘法成為一次操作。

第1列對角線以外元素都消為0：n(n-1)次操作

第2列共需：n(n-2)次操作

。。。。。。。。。。。

第n-1列共需：1次操作。

總共需操作數（當n足夠大時，主要看n的量級）：

（2）右側向量b

消元過程中，首先是b1乘以某個元素，然後依次由b2減，共需n-1次操作，以此類推，

共需

次操作。

（3）後向回代

求解xn需要一次操作，以此類推，一直到求解x1需要n次操作。共需

次操作。

總結：高斯消元法需要的操作數約為

.

4.置換（Permutation）矩陣

置換矩陣是完成行交換的矩陣，比如3x3的矩陣共有幾種呢？

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