麻省理工線性代數筆記（六）-向量空間與子空間

來自專欄 劉梳子數學

本講主要內容

• 向量空間與子空間
• A的零空間
• 解方程組：Ax=b

1. 向量空間與子空間複習

向量空間對數乘和加法具有封閉性。

2. 解方程組Ax=b

在研究列空間之前，我們先看熟悉的解線性方程組Ax=b。

問題：假定A已知，b為何值時，x有解？若有解，是唯一解，還是有一組解？

針對上面矩陣A，

此方程組四個方程，三個未知數，並不是所有的b，x都有解，僅當b在A的列向量空間內才有解。

因為列空間包含所有的列向量的線性組合，b在A的列向量空間內，此時x有解；若b不在A的列向量空間內，此時x無解。

或者說，任取x，Ax的結果是列向量空間，僅當b在此空間內才對應一個x，使得列空間的線性組合等於b。

2. A的零空間

我們將b=0，來研究所有解組成的空間。

包含所有Ax=0的所有解組成了A的零空間。

3. 解方程組Ax=b

我們看到Ax=b的解是A的零空間整體偏移到經過點(1,0,0),即特解向量。

本講先給出一個初步認識，下節課會講統一解方程的方法，還是利用高斯消元法。