麻省理工線性代數筆記（一）-線性方程組表示方式

來自專欄 劉梳子數學

我在大一的時候學了微積分和線性代數，微積分比較清楚應用，但是線性代數學下來感覺就是記了一堆公式，用來考試了。做了科研之後，發現線性代數非常之有用，包括現在很火的機器學習，大數據領域等都用到線性代數。

所以我開始搜集線性代數相關學習資料。最基礎的且講得非常清楚的便是MIT的Gilbert Strang，網易公開課有他的視頻。

為了更多的小夥伴獲益，我打算抽時間把Gilbent教授的課程筆記整理出來。其中需要輸入公式和作圖，所以小夥伴們請多多支持，幫忙轉發，這樣我才有快點更新的動力！

第一講

本課主要內容：

線性方程組：n個線性方程，n個未知數，理解以下三種表示方法：

row picture； column picture； matrix form

1. 2x2方程組

寫成矩陣形式：

• 1.1 row picture：圖中交點即為方程組的解

• 1.2 Column pictures：等式左側是矩陣各列的線性組合，將會充滿整個二維平面，等式右邊無論何值，均存在解。

2. 3X3的方程組

2.1 row pictures：三個平面(圖中紅、藍、綠)相交於一個點。

2.2 Column pictures：三個列向量的線性組合:x=0,y=0,z=2.

上面比較可以看出，當維數大於3時，row pictures很難畫出來，而列向量更適合推廣到n維。

3.問題：

考慮右側左右b的情況，問題：

1.對任意b，是否都能求解出AX=b？

2.列的線性組合是否能覆蓋整個三維空間？

以上兩個問題是等價的。

上面的例子是肯定有解的，因為列向量是相性無關的，或者說矩陣是非奇異的、可逆的。若三個列向量均處在一個平面內（線性相關），若右側b不在這個平面內，無解。

推廣到n維呢？列向量需要有n個線性無關的向量才能張成n維空間。

最後給出非奇異、可逆這些術語，如果不理解的，請不要著急，這裡僅給出引子，後面老師會詳細講解。