兩種紀年的換算和星期數的求法
現在，人們只要查看萬年曆，就可以知道某一年的公農曆兩種紀年的結果，還可以知道某日是星期幾。例如，1949年是己丑年，該年的10月1日是星期六；張之洞卒於1909年，這一年是己酉年（宣統元年）。
但是，萬年曆不是隨手可得。上述問題知其一可否求其餘？答案是可以。
一、公曆紀年與農曆紀年的換算
現在世界上通用的公曆，也叫格里哥里歷，在我國又叫陽曆（我國古代認太陽為陽、月亮為陰）。它根據太陽繞地球一周所用的時間三百六十五又四分之一天，經過長期不斷地改進演化，最終由羅馬教皇格里哥里十三世於1582.10.15日，在原凱撒歷基礎上革新頒布實行。英國及其殖民地國家自1752.9.14日起實行。
與公曆同排在我國日曆上的農曆，是我們國家所特有的一種「干支紀年曆」， 又叫陰曆。它是把一個朔望月，也就是相鄰兩次朔月（或望月即滿月）的時間間隔二十九點五三零六天，作為一個農曆月，採用十「天干」與十二「地支」搭配成60年一循環的周期性「干支紀年曆」。為了便於理解和運用，我們給出天干地支搭配表如下：
１ 甲子 |
２ 乙丑 |
３ 丙寅 |
４ 丁卯 |
５ 戊辰 |
６ 己巳 |
７ 庚午 |
８ 辛未 |
９ 壬申 |
１０ 癸酉 |
１１ 甲戌 |
１２ 乙亥 |
１３ 丙子 |
１４ 丁丑 |
１５ 戊寅 |
１６ 己卯 |
１７ 庚辰 |
１８ 辛巳 |
１９ 壬午 |
２０ 癸未 |
２１ 甲申 |
２２ 乙酉 |
２３ 丙戌 |
２４ 丁亥 |
２５ 戊子 |
２６ 己丑 |
２７ 庚寅 |
２８ 辛卯 |
２９ 壬辰 |
３０ 癸巳 |
３１ 甲午 |
３２ 乙未 |
３３ 丙申 |
３４ 丁酉 |
３５ 戊戌 |
３６ 己亥 |
３７ 庚子 |
３８ 辛丑 |
３９ 壬寅 |
４０ 癸卯 |
４１ 甲辰 |
４２ 乙巳 |
４３ 丙午 |
４４ 丁未 |
４５ 戊申 |
４６ 己酉 |
４７ 庚戌 |
４８ 辛亥 |
４９ 壬子 |
５０ 癸丑 |
５１ 甲寅 |
５２ 乙卯 |
５３ 丙辰 |
５４ 丁巳 |
５５ 戊午 |
５６ 己未 |
５７ 庚申 |
５８ 辛酉 |
５９ 壬戌 |
６０ 癸亥 |
按照上表的次序，每年用一對干支表示，這種紀年法叫做「干支紀年法」．從古代文獻來看，干支紀年至遲在東漢初期已經普遍使用，直至今天仍然採用．
干支紀年在我國歷史學中廣泛使用，很多歷史事件的年代常用它來表示．例如，甲午戰爭、戊戌變法、辛亥革命等等．
公曆紀年與干支紀年，可以藉助於「干支表」（如不記住，用時需要自己編排）和歷史知識，通過公式x = n＋3＋60 m進行換算，其中，
是公曆紀年數，
該公式可用文字語言表述為：公元年數，等於相應的干支年序數加3再加60的整數倍，其中60是干支紀年最小正周期所含的年數。
因為公元紀年的開頭年即公元元年又即公元1年是辛酉年，其干支序數為58，再過「3」年恰好進入下一個干支周期的開頭年甲子，所以公式中有「＋3」。
例１. 辛亥革命發生在公曆哪一年？
解：辛亥年的干支序數n = 48 ， 根據歷史知識知道，事件大致發生在一百年左右，故取m = 31 ，則公曆年數為：x = 48＋3＋60×31 = 1911.
例2. 求２０１０年的干支
解：x = 2010 ，選取合適的整數，使整數n在1～60範圍內取值，故可取
，則
例3. 求公元前221年的干支.
解：天文紀年法規定，公元元年記為1年，由此公元前一年記為「0年」、公元前二年記為「－1」年、依次前推. 按此規定，公元前221年為「－220年」，取m = －4 ，則干支年序號為：n = －220－3－60×（－4）= 17 ，查表知為庚辰年，這是秦始皇完成統一大業稱帝的那一年。
讀者不難驗證，本文開頭提到的建國年和張之洞卒年的兩種紀年的正確性。
可見，這種不同紀年相互驗證的方法，對考證歷史事件發生的年代和歷史人物的生卒年齡等，都具有重要的實際應用價值。
二、求星期數
如果我們得知了某日的公曆年月日，就可以計算出其星期數，即星期幾。這在司法案件查審等領域也是件極有意義的工作，下面我們就給出計算公式。
已知公曆A年B月C日，則該日對應的星期數是，下式計算結果除以7所得的餘數：
C＋[（13M－1）/5]＋Y＋[Y/4]＋[X/4]－2X.
其中，[N]表示不超過N的最大整數；當B = 1或2時，M = B＋10 ，當B = 3～12時，M = B－2 ；X、Y滿足100X+Y=A，且X、Y為不超過100的自然數.
例1. 1949.10.1日是星期幾？
解：C = 1，B = 10，故M = 8，100X+Y = 1949，解得X = 19，y = 49，
C＋[（13M－1）/5]＋Y＋[Y/4]＋[X/4]－2X.
= 1＋[（13×8－1）/5]＋49＋[49/4]＋[19/4]－2×19
= 1＋20＋49＋12＋4－38
= 48
48 = 7×6＋6，所以是星期六.
例2. 2010.12.31是星期幾？
解：C = 31，B = 12，故M = 10，100X+Y = 2010，解得X = 20，y = 10，
C＋[（13M－1）/5]＋Y＋[Y/4]＋[X/4]－2X.
= 31＋[（13×10－1）/5]＋10＋[10/4]＋[20/4]－2×20
= 31＋25＋10＋2＋5－40
= 33
33 = 7×4＋5，所以是星期五.
值得說明的是，星期幾的計算公式，只適用於現行公曆實行日之後的日期，即一般適用於1582.10.15日以後，英國及其殖民地國家適用於1752.9.14日以後. 反之，如果只知道某日是星期幾，不能確定其年月日，要確定還需要多個其它條件，那是一件比較麻煩的事情。關於本公式的合理性，有意深入探討者，可以閱讀本文末所列參考書2.
參考資料：
①《數學的源與流》，張順燕編著，高等教育出版社2000.9月第一版.
②《初等數論》，潘承洞、潘承彪著，北京大學出版社2003.1月第二版.
2011-11-09 人教網
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