等差數列與等比數列

　　基礎知識

　　1．數列的概念

　　定義1. 按照某一法則，給定了第1個數

，第2個數

，………，對於正整數

有一個確定的數

，於是得到一列有次序的數

我們稱它為數列，用符號

表示。數列中的每項稱為數列的項，第

項

稱為數列的一般項，又稱為數列

的通項。

　　定義2.當一個數列的項數為有限個時，稱這個數列為有限數列；當一個數列的項數為無限時，則稱這個數列為無限數列。

　　定義3.對於一個數列，如果從第2項起，每一項都不小於它的前一項，即

，這樣的數列稱為遞增數列；如果從第2項起，每一項都不大於它的前一項，即

，這樣的數列稱為遞減數列。

　　定義4.如果數列的每一項的絕對值都小於某一個正數，即

，其中

是某一個正數，則稱這樣的數列為有界數列，否則就稱為是無界數列。

　　定義5.如果在數列

中，項數

與

具有如下的函數關係：

，則稱這個關係為數列

的通項公式。

　　2．等差數列

　　定義6.一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它前一項的差等於同一個常數，這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做公差，常用字母

表示。

　　等差數列具有以下幾種性質：

　　（1）等差數列的通項公式：

或

；

　　（2）等差數列的前

項和公式：

或

；

　　（3）公差非零的等差數列的通項公式為

的一次函數；

　　（4）公差非零的等差數列的前

項和公式是關於

不含有常數項的二次函數；

　　（5）設

是等差數列，則

（

是常數）是公差為

的等差數列；

　　（6）設

，

是等差數列，則

（

是常數）也是等差數列；

　　（7）設

，

是等差數列，且

，則

也是等差數列（即等差數列中等距離分離出的子數列仍為等差數列）；

　　（8）若

，則

；特別地，當

時，

；

　　（9）設

，

，

，則有

；

　　（10）對於項數為

的等差數列

，記

分別表示前

項中的奇數項的和與偶數項的和，則

，

；

　　（11）對於項數為

的等差數列

，有

，

；

　　（12）

是等差數列的前

項和，則

；

　　（13）其他衍生等差數列：若已知等差數列

，公差為

，前

項和為

，則

　　      ①．

為等差數列，公差為

；

　　　　②．

（即

）為等差數列，公差

；

　　　　③．

（即

）為等差數列，公差為

.

　　3．等比數列

　　定義7.一般地，如果有一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等於現中一個常數，那麼這個數列就叫做等比數列，這個常數叫做公比；公比通常用字母

表示（

），即。

　　等比數列具有以下性質：

　　（1）等比數列的通項公式：

或

；

　　（2）等比數列的前

項和公式：

；

　　（3）等比中項：

；

　　（4）無窮遞縮等比數列各項公式：對於等比數列

的前

項和，當

無限增大時的極限，叫做這個無窮遞縮數列的各項的和，記為

，即

；

　　（5）設

是等比數列，則

（

是常數），

仍成等比數列；

　　（6）設

，

是等比數列，則

也是等比數列；

　　（7）設

是等比數列，

是等差數列，且

則

也是等比數列（即等比數列中等距離分離出的子數列仍為等比數列）；

　　（8）設

是正項等比數列，則

是等差數列；

　　（9）若

，則

；特別地，當

時，

；

　　（10）設

，

，

，則有

；

　　（11）其他衍生等比數列：若已知等比數列

，公比為

，前

項和為

，則

　　①．

為等比數列，公比為

；

　　②．

（即

）為等比數列，公比為

；

　　典例分析

　　例1．設等差數列的首項與公差均為非負整數，項數不小於3，且各項之和為97²，則這樣的數列有_____________個。

　　解：設等差數列的首項為

，公差為

。由已知有

，即

。又因為

，所以

只可能取

，又因為

且

均為整數，故

；

　　若

，由於

為正數，則

，即

，故

，這時有

或

；

　　若

，則

，這時有

或

。

　　例2．設

，A是S的三元子集，滿足：A中元素可以組成等差數列，那麼這樣的三元子集有___________個。

　　解：若

成等差數列，則

，從而首未兩項奇偶相同，且首未兩項一旦確定，那麼等差數列也就隨之確定了。但是值得注意的是，雖然

成等差數列時，

也成等差數列，但它們所對應的是同一個集合A={

}。

　　將S按數的奇偶性分成

與

兩個子集。

　　從

中取出兩個數作為等差數列的首未兩項，共有

種不同的取法；

　　從

中取出兩個數作為等差數列的首未兩項，共有

種不同的取法；

　　所以共有

+

種不同的取法。

　　例3．設

，A為至少含有兩項且公差為正的等差數列，其項都在S中，且添加S的其它元素於A後均不能構成與A有相同公差的等差數列，求這種A的個數（這裡只有兩項的數列也看作是等差數列）（1991年全國高中數學聯賽二試第一題）

　　分析：可先對特殊的n（如n=1,2,3）通過列舉法求出A的個數，然後總結規律，找出

的遞推關係，從而解決問題；也可以就A的公差

時，討論A的個數。

　　解法一：設

元素集

中滿足條件的A有

個，則

，

，……如此下去，可以發現

。

　　事實上，

比

的A增加的公差為

的1個，公差為

的1個，……，公差為

為偶數)或

為奇數）的增加1個，共增加

個。

　　由

的遞推公式可得

個。

　　解法二：設A的公差為

，則

，分為兩種情況討論：

　　（1）當

為偶數時，則當

時，公差為

的A有

個，當

時，公差為d的A有

個，故當n為偶數時，這種A共有

個；

　　（2）當

為奇數時，則當

時，公差為

的A有

個，當

時，公差為d的A有

個，故當n為奇數時，這種A共有

個；

　　綜合（1）（2）得，所求的A共有

個。

　　例4．將數列

依次按每一項，兩項，三項，四項循環分成（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27）,（29，31，33），（35，37，39，41），（43）……，則第100個括弧內的各數之和是__________________。

　　解：每循環一次記為一組，則第100個括弧是第25組的第4個括弧。而每組中第四個括弧內的各數之和構成以72為首項，以80為公差的等差數列，故

為所求。

　　例5．設數列

是等差數列，

是等比數列，且

，

，

（

），又

，試求數列

的首項與公差。（2000年全國高中數學聯賽一試第13題）

　　分析；題中兩個基本量

中的首項

和公差

是所需求的。利用

，

，

成等比數列和給定的極限可列出兩個方程，但需注意極限存在的條件。

　　解：設所求的首項為

，公差為

。因為

，故

；又因為

成等比數列，故

，即

，即

，化簡得：

，解得

，而

，故

；

　　若

，則

；若

，則

；

　　但是

存在，可知

，於是

不合題意，從而只有

。於是由

　　解得

，所以

，

　　故數列

的首項與公差分別為

和

。

　　例6．若複數列

的通項公式為

　　（1）將數列

的各項與複平面上的點對應，問從第幾項起，以後所有的各項對應的點都落在圓

的內部；

　　（2）將數列

中的實數項按原來的順序排成一個新數列

，求數列

的通項及所有項的和。

　　解：（1）設數列

的各項在複平面上對應的點的坐標為

，則

，

。

要使點

落在圓

的內部，

只需

，得

即

，故從第6項起，以後每一項都落在圓

的內部。

　　（2）要使數列

中的項為實數，則

，得

，

　　因此數列

的通項公式為

，

　　所以

，且

　　故數列

是首項為1，公比為

的無窮遞縮數列，從而數列

的所有項的和為：

。

　　例7．已知整數

，

是1，2，3，……，n的一個排列，求證：

不可能構成一個等差數列，也不可能構成一個等比數列。（2006年山東省第二屆夏令營試題）

　　證明：若

構成一個等差數列，設其公差為

，則

，

，所以

。

　　而

，因為

，所以

　　所以

。

　　於是當

時，則

，於是

　　所以

，矛盾！

　　當

時，則

， 又因為

所以

，從而

。

　　所以

，所以

，從而

，矛盾！

　　從而

不可能構成一個等差數列。

　　下證

不可能構成一個等比數列。

　　若

構成了一個等比數列，考慮最後三項。

　　有

，所以

。

　　而（

，

，所以

；

　　當

時，顯然

；

　　當

時，顯然

；

當

時，有

，知

，所以

即

，所以

或4；

　　   當

時，

只能為1，6，6或2，6，3，但這兩個都不是等比數列；

　　   當

時，

，所以

故

；又因為

，所以

矛盾！

　　所以

也不可能構成一個等比數列。

　　例8．正整數序列

按以下方式構成：

為某個正數，如果

能被5整除，則

；如果

不能被5整除，，則

。證明：數列{

}自某一項起，以後各項都不是5的倍數。（2006年山東省第二屆夏令營試題）

　　證明：首先證明

中一定在存在相鄰的兩項，它們都不是5的倍數。

　　（反證）若不然，數列

中任意的兩項都是5的倍數。

　　若

，則

；

　　若5

，則

，從而

；

　　所以

矛盾！（因為某個正數，不可能大於無窮多個正整數）

　　從而

中一定在相在相鄰的兩項，它們都不是5的倍數。

　　設

都不是5的倍數，則

，其中

，

　　有

　　因為

，所以

，所以

只能取

，即

只能取

，這說明

不是5的倍數。

　　即從

起以後每一項都不是5的倍數。

　　例9．將與105互質的所有正整數從小到大排成數列，求這個數列的第三1000項。

　　解：設

，

，

，

　　則

；

；

；

；

；

；

，所以

。

　　在1到105之間與105互質的數有

[

]+[

+

+

]

　　－

=105－（35+21+15）+（7+3+5）－1=48

　　設將與105互質的數從小到大排列起來為數列

，則

，

，

，

　　這是一個以48為周期的周數列，因為

　　所以

；

　　而由於

，

，

，

，

，

，

，

，

；

　　所以

=

。

　　例10．數列

的定義如下：

，且當

時，有

　　現已知

，求正整數

.（2006年山東省第二屆夏令營試題）

　　解：由題設條件知

，並由

得當n為偶數時，

，當n為奇數時，

；

　　由於

，知n為偶數；

　　所以

知

為奇數；所以

知

為偶數；

知

為奇數；

知

為偶數；

知

為奇數；

知

為偶數；

知

為偶數；

知

為奇數；

知

為偶數；

知

為奇數；

知

為偶數；

　　所以

，所以

。