MMC控制原理 - 數學模型和控制思路

05-28

MMC控制原理 - 數學模型和控制思路

來自專欄 HVDC學習筆記

Things to take away

數學模型

差模電壓控制輸出電流
共模電壓控制內部換流

整體控制思路

先說一些廢話

MMC的控制不同於其他的系統，因為就其本身器件來說，我們只能控制每個子模塊的切除和投入的時間。從這個角度來看，這完全是一個非線性的過程，我們不可能對開關本身的狀態來進行建模。那我們如何建立狀態空間呢？

我們需要回到MMC最初的形式來看。從交流側看進去，MMC在交流電網當中就是一個同步調相機。

這個圖畫得很形象，右側MMC輸出的電壓就是一個階梯型的正弦波。

這說明MMC其實輸出的其實是一組對稱的三相交變電壓。這就好了，對於一組對稱的交流電壓，我們只需要知道其幅值和相位，那整個波形就唯一確定了。我們要找的不變數就是這個。

OK，我們先來看系統的數學方程。

數學模型

為建立系統方程，我們將MMC的拓撲圖畫出來。

圖中的實際 $L_{ac}$ 是聯接變壓器的漏電感。根據KVL，我們可以得到MMC的微分方程：

$u_{sj} + L_{ac}frac{di_{vj}}{dt} + u_{pj} + R_0i_{pj} + L_0 frac{di_{pj}}{dt} = U_{dc}/2\ u_{sj} + L_{ac}frac{di_{vj}}{dt} - u_{nj} - R_0i_{nj} - L_0 frac{di_{nj}}{dt} = - U_{dc}/2$

為進一步簡化分析，需要定義三個量

$u_{diffj} = frac{1}{2}(u_{nj} - u_{pj})\ u_{comj} = frac{1}{2}(u_{pj} + u_{nj})\ i_{cirj} = frac{1}{2}(i_{pj} + i_{nj})$

$u_{diffj}?$ 是上下橋臂的差模電壓，是上下橋臂的共模電壓，是j相橋臂的環流。細心的好友是不是發現上面的式子是不是有點不對稱？上下橋臂的電流差是不是也應該寫出來？這其實早就定義好了，就是相電流 $i_{vj} = i_{pj} - i_{nj}$

OK，我們將MMC的微分方程相減和相加，代入我們剛才定義的三個量

$(L_{ac}+L_0/2)frac{di_{vj}}{dt}+frac{R_0}{2}i_{vj} = - u_{sj} + u_{diffj}\ L_0frac{di_{cirj}}{dt} + R_0i_{cirj} = U_{dc}/2 - u_{comj}$

看到這裡是不是有點感覺了？第一個式子只有差模電壓和相電流，第二個式子只有共模電壓和環流。在直流電壓和交流電壓不變的時候，我們只要控制了差模電壓和共模電壓，就可以控制輸出電流和環流，進一步就可以控制功率傳輸了。Amazing!

差模電壓控制輸出電流

我們先來看第一個式子，表示為abc三相下的形式

$Lfrac{d}{dt} left[ egin{matrix} i_{va}(t)\ i_{vb}(t)\ i_{vc}(t)\ end{matrix} ight] + R left[ egin{matrix} i_{va}(t)\ i_{vb}(t)\ i_{vc}(t)\ end{matrix} ight] = - left[ egin{matrix} u_{sa}(t)\ u_{sb}(t)\ u_{sc}(t)\ end{matrix} ight] + left[ egin{matrix} u_{diffa}(t)\ u_{diffb}(t)\ u_{diffc}(t)\ end{matrix} ight]$

其中： $L = L_{ac} + L_0/2$ , $R = R_0/2$

最初我們說過，我們已經先驗的知道了電流電壓的變化都會是工頻下的正弦信號，為進一步獲得狀態量，我們只需將三相靜止坐標系下的正弦交流量變換為兩軸同步旋轉坐標系下的直流量即可，即經典的派克變換。

這裡的變換矩陣為

$T_{3s - dq}( heta) = frac{2}{3}left[ egin{matrix} cos( heta) & cos( heta - 2pi/3) & cos( heta + 2pi/3 ) \ -sin( heta) & -sin( heta - 2pi/3) & -sin( heta + 2pi/3) \ end{matrix} ight]$

其中 $heta = omega t$ ?即為PLL鎖相環得到的a相電壓?的相位。在這種情況下，其實d軸的電壓就是交流電網的線電壓，而q軸的電壓為零。

OK，我們進行坐標變換可得

$Lfrac{d}{dt} left[ egin{matrix} i_{vd}(t)\ i_{vq}(t)\ end{matrix} ight] + R left[ egin{matrix} i_{vd}(t)\ i_{vq}(t)\ end{matrix} ight] = - left[ egin{matrix} u_{sd}(t)\ u_{sq}(t)\ end{matrix} ight]+ left[ egin{matrix} u_{diffd}(t)\ u_{diffq}(t)\ end{matrix} ight] + left[ egin{matrix} 0 & omega L\ -omega L & 0\ end{matrix} ight] left[ egin{matrix} i_{vd}(t)\ i_{vq}(t)\ end{matrix} ight]$

變換之後多了等號右邊第三項。這其實是abc三相電流求導時，變換矩陣?多出來的。我最開始也有點懵，但其實一想就明白了，因為這個變換矩陣?實際是時變的，所以求導不能單純提出來。具體公式是：

$T_{3s-dq}frac{d}{dt}[f_{abc}(t)] = frac{d}{dt}[f_{dq(t)}] - [frac{d}{dt}f_{3s-dq}( heta)]cdot T_{dq-3s}( heta) cdot f_{dq}(t)$

其中 $T_{dq-3s}( heta)$ ?是? $T_{3s-sq}( heta)$ 的反變換。用上面公式一算，就可以得到剛才的結果了。

OK，我們進行一下拉普拉斯變換，看一下MMC的傳遞函數關係。

$left{ egin{matrix} (R+Ls)i_{vd}(s) = -u_{sd}(s)+u_{diffd}(s) + omega L i_{vq}(s)\ (R+Ls)i_{vq}(s) = -u_{sq}(s)+u_{diffq}(s) - omega L i_{vd}(s) end{matrix} ight.$

由上面式子我們可以看出，MMC的交流輸出電流僅取決於交流系統電壓和橋臂差模電壓。如果系統電壓確定了，那麼交流輸出電流僅取決於橋臂差模電壓。這其實就是我們要找的系統狀態量。畫成框圖即

另外還需要注意到，注入交流系統的瞬時有功功率和無功功率可以表示為

$p_s = frac{3}{2}U_{sm}i_{vd}\ q_s = - frac{3}{2}U_{sm}i_{vq}$

這也就是說，如果我們能控制dq軸的電流分量，就可以控制注入交流系統的無功和有功。由能量守恆，直流側的功率我們也可以由此得知。

共模電壓控制內部環流

對於環流? $i_{cirj}$ 我之前並沒有討論。根據環流的表達式? $i_{cirj} = frac{1}{2}(i_{pj} + i_{nj})$ 這不就是上下電流的平均值么，平均值不應該就是均勻分得的三分之一的直流電流嗎？事實並沒有這麼簡單。

最主要的原因是MMC子模塊的輸出電壓實際是波動的。子模塊的電壓輸出來自電容放電（or充電），雖然一般取的電容都比較大，但在放電（or充電）時電容電壓肯定會改變，這部分改變會形成環流在三個橋臂內流動。具體求解相環流的過程我就不在這裡推導了，有機會今後再開一篇吧。Anyway，相環流的表達式如下

$i_{cirj} = frac{I_{dc}}{3} + I_{r2m}cos(2omega - heta_{t}) + Q_{10}$

其中 $I_{r2m}$ ?是二倍頻環流的幅值，? $Q_{10}$ 是3次及以上的諧波分量，已經非常小，可以忽略不計。

所以所謂環流其實就一個直流分量和一個二倍頻的交流分量組成。 $I_{r2m}$ ?的表達式非常複雜，實際寫出來也沒有太大意義，但看錶達式我們可以發現，電平N?越多，子模塊電容 $C_0$ 越大，橋臂電抗 $L_0$ ?越大，那麼 $I_{r2m}$ ?就越小。

OK，說了這麼多其實就是說：環流裡面還有一個二倍頻的分量。我們把三相的環流都寫出來：

$i_{cira}=frac{I_{dc}}{3} + I_{r2m} cos(2omega t - heta_t)\ i_{cirb}=frac{I_{dc}}{3} + I_{r2m} cos(2omega t - heta_t + 2pi/3)\ i_{circ}=frac{I_{dc}}{3} + I_{r2m} cos(2omega t - heta_t - 2pi/3)$

可以發現，MMC內部環流的2次諧波是負序的。沿用剛才坐標變換的思路，我們這次需要採用與負序2次分量相對應的坐標系來進行變換（即以 $2omega$ ?速度反? $heta$ 方向旋轉），記為

$T_{3s - dq}( heta) = frac{2}{3}left[ egin{matrix} cos(2 heta) & cos(2 heta +2pi/3) & cos(2 heta - 2pi/3 ) \ sin(2 heta) & sin(2 heta + 2pi/3) & sin(2 heta - 2pi/3) \ end{matrix} ight]$

代入MMC微分方程的第二組

$L_0frac{d}{dt} left[ egin{matrix} i_{cira}(t)\ i_{cirb}(t)\ i_{circ}(t)\ end{matrix} ight] + R_0 left[ egin{matrix} i_{cira}(t)\ i_{cirb}(t)\ i_{circ}(t)\ end{matrix} ight] = left[ egin{matrix} U_{dc}/2\ U_{dc}/2\ U_{dc}/2\ end{matrix} ight] - left[ egin{matrix} u_{coma}(t)\ u_{comb}(t)\ u_{comc}(t)\ end{matrix} ight]$

得到

$L_0frac{d}{dt} left[ egin{matrix} i_{cird}(t)\ i_{cirq}(t)\ end{matrix} ight] + R_0 left[ egin{matrix} i_{cird}(t)\ i_{cirq}(t)\ end{matrix} ight] = left[ egin{matrix} 0 & -2omega L_0\ 2omega L_0 & 0\ end{matrix} ight] left[ egin{matrix} i_{cird}(t)\ i_{cirq}(t)\ end{matrix} ight] - left[ egin{matrix} u_{comd}(t)\ u_{comq}(t)\ end{matrix} ight]$

注意，經過這個變化之後，直流量 $U_{dc}$ ?沒了。再進行拉普拉斯變換，可得到

$left{ egin{matrix} (R_0+L_0s)i_{cird}(s) = -u_{comd}(s) - 2omega L i_{cirq}(s)\ (R_0+L_0s)i_{cirq}(s) = -u_{comq}(s) + 2omega L i_{cird}(s) end{matrix} ight.$

從這裡我們可以看出，MMC的內部環流只取決於橋臂的共模電壓。用框圖表示如下

整體控制思路

具體的控制設計我分到之後幾篇文章來講，但整體的一個感性的思路一定要先有。

整體而言，MMC的控制分成了兩個部分，一部分是外環的功率控制，一部分是內環的電流控制。

我之前學這裡的時候始終沒搞明白，為什麼要分成兩部分？其實現在一想，原理也很簡單。我把上面這個圖再標註一下，畫成下面這個

我們剛才費老半天建立的模型，實際就是紅色方框里的部分。這個系統是一個交流的系統，沒有辦法直接建立電壓電流的狀態方程。但是我們取旋轉坐標系就可以把交流系統轉變為一個直流的系統，這樣我們就可以用傳統的控制理論來進行反饋控制。對於我們這個系統，直接輸入(Input)是交流電壓和直流電壓，我們能夠控制的反饋輸入(feedback)只有共模電壓和差模電壓。這裡最關鍵要注意到，我們實際已經把脈衝調製考慮在了系統當中，這部分肯定也會對系統的動態產生影響，但是我們把這部分作為未建模動態，不予考慮。

接下來看內環電流控制器。所謂內環電流控制器，是指將MMC的共模電流和相電流控制到我們的參考電流值。要想達到這個目的，剛才說了，對於MMC系統，我們能控制的量其實只有共模電壓和差模電壓，我們就必須通過控制器給出一個合理的共模電壓和差模電壓作為系統的輸入。至於怎麼得到這些個電壓，方法就多了，pid，lqr，魯棒控制，甚至神經網路，其實都可以。我們下次來講。

再接下來，是外環功率控制器。剛才說將電流控制到我們想要的值，那為什麼要到這個電流值呢？這個參考電流值有什麼意義呢？這就得回到瞬時功率的定義

$p_s = frac{3}{2}U_{sm}i_{vd}\ q_s = - frac{3}{2}U_{sm}i_{vq}$

從這裡可以看出，有功功率、無功功率實際僅和d軸電流、q軸電流有關。我們在更高層次想控制MMC的功率或者直流電壓，交流電壓（這個參考值就是有實際意義的了），我們實際只需要控制dq軸電流即可。那我們就通過這個控制模塊給出一個合理的dq軸電流唄。一樣的，怎麼給出這個電流值，那就是各種方法都可以了。

下面兩篇文章其實就是講具體怎麼設計內環電流控制器和外環功率控制器。

Get it？

Reference:

柔性直流輸電系統，第二版，徐政等