函數的最大值和最小值

二. 知識講解：

一般地，設

是定義在

上的函數，

在（

）內有導數，求函數

在

上的最大值與最小值可分為兩步進行：

1. 求

在

內的極值（極大值或極小值）；

2. 將

的各極值與

比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值。

【典型例題】

[例1] 已知

在區間

上的最大值是5，最小值為

，求

解析式。

解：由

，則

令

，則在區間

上的根為

，且

（1）當

時，列表如下

函數

在

處有極大值

，又由

的單調性，則

最大值為

，由已知

。

而

最小值為

與

的最小者

而

，

則

，即

為最小值

由已知

，則

，所以

（2）當

時，同理可得

為最小值，故

的最大值為

與

的最大者

則

為最大值即

則

，所以

綜上

[例2] 已知在區間

上，函數

的最大值為1，最小值為

，並且

，求

與

的值。

解：由

，則

令

，則

，函數

在區間

上的增減性如下表

由

，則

，即

又由

，

，則

所以

，

由已知

解得

註：求閉區間上連續函數的最值問題，須比較極值點與區間端點的函數值的大小。

[例3] 已知兩個函數

，

，其中

。

（1）對任意

都有

成立，求

的取值範圍。

（2）對任意的

，

都有

，求

的取值範圍。

解：設

，則對任意的

都有

成立等價於函數

的最小值發即

，其中

，

令

，則

或

，列表如下

由上表可知

由

，可得

（2）對任意

，

都有

成立等價於

的最大值不大於

的最小值，其中

以下先求

的最小值

，由

，則有

，即

令

，則

或

，列表如下

所以

以下再求

的最大值

，

，利用二次函數的圖象性質，可得

，於是

即

[例4] 用總長14.8m的鋼條製做一個長方形容器的櫃架，如果所制的容器的底面的一邊比另一邊長0.5m，那麼高為多少時容器最大，並求出它的最大容積。

    解：設容器底面邊長為

，則另一邊長為

，高為

=

由

和

，得

設容器的容積為

，則有

（

）

整理，得

則

，令

，有

即

，解得

，

（不合題意捨去）

從而，在定義域（0，1.6）內只有在

處使得

，由題意，若

過小（接近0）或過大（接近1.6）時

的值很小，（接近0），因此，當

時，

取最大值，即

此時，高為

，所以，當高為

時，容器最大的容積為

。

【模擬試題】

1. 函數

在閉區間

上的最大值，最小值分別是（    ）

    A.

    B.

    C.

    D.

2. 函數

（

為常數）在

上有最小值3，那麼

在

上的最大值是         。

3. 設函數

=

（1）求

的單調區間；

（2）若

，且當

時，

恆成立，求實數

的取值範圍。

【試題答案】

1. C

    提示：先求極值，令

，

，

，

，

，所以，最大值為3，最小值為

。

2. 43

提示：

，令

，則

當

時，

，則函數

在

上單調遞增

當

時，

，則函數

在

上單調遞減

又由

，

，故

則

，所以，

，且

在

上的最大值是

3. 解：

（1）

，其判別式

當

時，由

，得

或

則

的遞增區間為

遞減區間為

當

時，

恆成立，則

的遞增區間為

（2）

時，

恆成立，因此

在

上是增函數，從而

在（1，2）上遞增，則

在

恆成立

，解得

故

的取值範圍是