數列（一）等差數列

數列（一）等差數列

二. 知識講解：

1. 判定

（1）定義法

（

）

（2）等差中項法

（3）通項公式法

（

）

（4）前

項和法

2. 性質

為等差

（1）若

（2）

為

的子數列，

，若

為A.P

則

也是A.P（即等差間隔抽取的子數列也是A.P）

，

（如：

…

）

如

數列

仍成等差數列，公差

（3）

中依次

項和仍成A.P，公差

，…

如

…仍成A.P，公差

（4）設

為

所有奇數項之和

為

所有偶數項之和

① 若

為奇數，則

事實上，

② 若

為偶數，則

，

（5）

【典型例題】

[例1] 設數列

的前

項和為

，證明

為等差數列的充要條件是

（

）

證明：（

）若

為等差，則

，故

（

）當

時，由題設

，

故

同理

從而

即

由此對任意

，

成立，即

為等差數列

[例2] 等差數列

中，已知

，求

的值。

解：注意到

（

）

只需求

的值

由

則條件即

，所以

註：一般地有以下結論：

在等差數列

中，如果有正整數

（

）及正整數

使

則

事實上，由

故

0，上題中

，故

[例3] 等差數列

中，已知

，

，求

。

解：由

[例4] 等差數列

中，已知

，求

。

解：

即

①

②

②－①

得：

而

成A.P

且公差

即

[例5] 兩個等差數列

和

的前

項和分別為

與

，且

，求

的值。

解：由

，則

[例6] 一等差數列的前

項和為100，前100項和為10，求該數列前110項之和。

解：方法一：

①×10－②：

代入①：

∴

方法二：設等差數列的前

項和為

∴

∴

∴

方法三：∵

又

∴

∴

[例7] 在等差數列

中，項數

為奇數。若奇數項和

，偶數項和

，則項數

為多少，中間一項的值是多少？

解：

又

[例8] 一個等差數列共11項，則其所有奇數項與所有偶數項之和的比是多少？

解：由

[例9] 設等差數列

滿足

且

，

為其前

項之和，則

中最大的是（ ）

A. S₁₀ B. S₁₁- C. S₂₀ D. S₂₁

解：由

由

由

，則

，故

有最大值時，

為最大

設

故當

時，

，相應的S_n為最大，故選C。

[例10] 等差數列

前

項和

的最大值為

，且

，求使

的

的最大值。

解：依題意

（1）當

即

時，由

，則

（2）當

時，由

，又

，則

[例11]（2004年北京春考試題）下表給出一個「等差數陣」

其中每行、每列都是等差數列，

表示位於第

行第

列的數

（1）寫出

的值；

（2）寫出

的計算公式；

（3）證明：正整數N在該等差數陣中的充要條件是2N+1，可以分解成兩個不是1的正整數之積。

解：

（1）該等差數陣的第一行是首項為4，公差為3的A.P，則

第二行是首項為7，公差為5的A.P

由

，則第四列是首項為13，公差為9的A.P

（2）由（1）有

則第

列是首項為

，公差為

的A.P

則

（3）必要性：若N在該等差數陣中，則存在正整數

使得

，從而

這表明正整數

可以分解為兩個不是1的正整數之積

充分性：若2N+1可以分解成兩個不是1的正整數之積，由於2N+1是奇數，則它必為兩個不是1的奇數之積，即存在正整數

，使得

從而

可見正整數N在該等差數陣中的充要條件是2N+1可以分解成兩個不是1的正整數之積。

[例12]（05江蘇23）設數列

的前

項和為

，已知

，

，

，且

，其中A、B為常數。

（1）求A與B的值；

（2）證明數列

為等差數列；

（3）證明不等式

對任何正整數

都成立

解：

（1）由已知，得

，

由

知

（2）由（1）得

①

所以

②

由②－①得

③

所以

④

由④－③得

因為

，所以

因為

，所以

即

又

，所以

為等差數列

（3）由（2）可知，

（*）

由於

則（*）

由

命題得證。

【模擬試題】

一. 選擇題：

1. 數列

的通項公式是

，則這個數列的前三項是（ ）

A. 1，4，9 B. 2，4，9 C. 2，1，4 D. 2，6，11

2. 數列

的一個通項公式可能是（ ）

A.

B.

C.

D.

3. 首項是

，第10項開始比1大，則此等差數列的公差

的範圍是（ ）

A.

B.

C.

D.

4. 已知

是等差數列，

，則該數列的通項公式為

（ ）

A.

B.

C.

D.

5. 數列

的前

項和

，則

的值等於（ ）

A. 1100 B. 112 C. 988 D. 114

6. 若等差數列

的前

項和分別為

，且

，則

等於

（ ）

A.

B.

C.

D.

7. 等差數列

中，

，其前11項的算術平均值為5，若從中抽出一項，則餘下的項的算術平均數為4，則抽出的一項是（ ）

A.

B.

C.

D.

二. 填空題：

8. 數列7，77，777，7777，…的一個通項公式為_____________。

9. 等差數列

的首項

，公差

為整數，若前7項為正數，第7項以後的各項都是負數，則

的值為______________。

10. 若

成等差數列，則

的值為_________ .

11. 在等差數列

中，已知

，則

________。

12. 已知100個連續整數之和為

，且

，則這些連續整數中最大的數是_____________。

三. 解答題：

13. 在

中，若

成等差數列，且三內角A、B、C也成等差數列，試判斷三角形的形狀。

14. 已知數列1，2，4，…前

項之和

，求

並確定

之值。

15. 設數列

的前

項和

，

是常數，且

。

（1）證明

是等差數列。

（2）證明以

為坐標的點

都落在同一條直線上，並寫出此直線的方程。

（3）設

是以

為圓心，

為半徑的圓

，求使得點

都落在圓

處時，

的取值範圍。

【試題答案】

一. 選擇題：

1. B 2. A

3. D

解：

解得

4. B

解：

即

5. B

解：

6. B

解：

7. D

由前11項平均值為5知，

，抽出的一項是

，又

成等差數列，故

二. 填空題：

8.

9.

解：

即

解得

又

為整數

10.

解：由已知

解得

11. 25

解：

12. 184

解：設最大數是

由題設得

三. 解答題：

13. 解：由

成等差數列知

又

成等差數列

即

為等邊三角形

14. 解：

由已知當

時，

即

解得

當

時，

又

適合上式

且

15. 解：（1）由已知得：

當

時，

則當

時，

所以

是以

為首項，

為公差的等差數列

（2）點

的坐標

，點

，連接

的直線的斜率

則對任意自然數

所有點

都在經過點

且斜率

的直線上

此直線方程為

即

（3）當

時，

的坐標為

則

都落在圓

外的條件是

整理得

由

，由

由

又

將上述各組由小到大排序

即

的取值範圍是

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