2.4 依測度收斂（Converge in measure）

06-03

來自專欄實變函數與泛函分析筆記

第一章 Measure theory

1.1 Ring和Algebra

1.2 測度 & 外測度 & 測度的完備化

1.3 外測度的構造 & Lebesgue測度 & Lebesgue-Stieltjes測度

1.4 Metric Space &Metric Outer Measure

1.5 Lebesgue測度再討論

1.6 帶號測度（Signed Measure）& Hahn分解 & Jordan分解

第二章可測函數（measurable function）

2.1 可測函數的定義

2.2 可測函數的性質

2.3 Egoroff定理和Lusin定理

2.4 依測度收斂（Converge in measure）

Section 1 依測度收斂（Converge in measure）

定義1（依測度收斂）

幾乎處處實值的可測函數序列 ${f_n}$ 稱為依測度收斂（convergent in measure），如果存在可測函數 $f$ ，使得對任意 $varepsilon>0$ ,有 $lim_{n o infty} mu({x:|f_n(x)-f(x)|geqvarepsilon})=0$

此時，我們就說 ${f_n}$ 依測度收斂於 $f$ ，記作 $f_n o f ext{ in measure.}$

註： $f_n o f ext{ in measure.}$ 自動蘊含著(a) $f_n$ 都是幾乎處處實值且可測的 (b) $f$ 是可測的

例子1 概率論中的依概率收斂

例子2 (處處不收斂但依測度收斂的例子)

在Lebesgue測度空間 $(mathbb{R},L,m)$ 上，取 $E=(0,1]$ 。構造函數序列如下：第1步，將 $(0,1]$ 二等分，定義兩個函數：

$[f_1^{(1)} = left{ {egin{array}{*{20}{L}} 1,&xin(0,frac12]\ 0,&xin(frac12,1] end{array}} ight.]$ , $[f_2^{(1)} = left{ {egin{array}{*{20}{L}} 0,&xin(0,frac12]\ 1,&xin(frac12,1] end{array}} ight.]$

第2步將 $(0,1]$ 四等分、第3步八等分、。。。依次作下去，到第 $n$ 步時，將 $(0,1]$ 平均分成 $2^n$ 份，並定義 $2^n$ 個函數，每個函數 $f_j^{(n)}$ 定義為 $[f_j^{(n)} = left{ {egin{array}{*{20}{L}} 1,&xin(frac{j-1}{2^n},frac{j}{2^n}]\ 0,&x otin (frac{j-1}{2^n},frac{j}{2^n}] end{array}} ight.]$

然後把 ${f^{(n)}_j}$ $(j=1,2,cdots,2^n)$ 先按 $n$ 後按 $j$ 的順序排成一列： $f^{(1)}_1,f^{(1)}_2,f^{(2)}_1,f^{(2)}_2,f^{(2)}_3,f^{(2)}_4,cdots,f_1^{(n)},f_2^{(n)},cdots,f_{2^n}^{(n)},cdots$

其中 $f_j^{(n)}$ 在這個序列里是第 $2^n-2+j$ 個函數。我們斷言：函數序列 ${f^{(n)}_j}$ 在 $E$ 上處處不收斂，但依Lebesgue測度 $m$ 收斂於零

(1) 函數序列 ${f^{(n)}_j}$ 在 $E$ 上處處不收斂。這是因為任取一點 $x_0in(0,1]$ ,對任意的 $n$ 總有相應的 $j$ ,使得 $x_0in(frac{j-1}{2^n},frac{j}{2^n}]$ ,所以 $f_j^{(n)}(x_0)=1$ 。然而 $f_{j-1}^{(n)}(x_0)=0$ 或 $f_{j+1}^{(n)}(x_0)=0$ 。也就是說，對任意一點 $x_0$ ,無窮多次函數值取1，無窮多次函數值取0，因此在 $(0,1]$ 任意一點是發散的。
(2)函數序列 ${f^{(n)}_j}$ 在 $E$ 上依Lebesgue測度 $m$ 收斂於 $f=0$ 。我們計算使第 $N=2^n-2+j$ 個函數 $f^{(n)}_j$ 與 $f$ 的差大於等於 $varepsilon$ 的那些點，即是： $forall varepsilon>0$ , ${x:|f^{(n)}_j-f(x)|geqvarepsilon}=(frac{j-1}{2^n},frac{j}{2^n}]$ ，因此 $m({x:|f^{(n)}_j-f(x)|geqvarepsilon})=m((frac{j-1}{2^n},frac{j}{2^n}])=frac1{2^n}$ 。當 $N ightarrow infty$ 時，也有 $n ightarrowinfty$ ，故 $m({x:|f^{(n)}_j-f(x)|geqvarepsilon})=frac1{2^n} o infty$ 。 $square$

$Delta$ 依測度收斂的性質（以下命題都在測度空間 $(X,mathfrak{a},mu)$ 中考慮）

(1) $f_n o f ext{ in measure}Leftrightarrow f_n - f o 0 ext{ in measure}$

用定義即可證明。

(2) $f_n o f ext{ in measure}Rightarrow f ext{ is a.e. real-valued}$

（提示：把 $f$ 取 $pm infty$ 的點分兩種考慮：一種是 $f_n$ 在這點取 $pm infty$ ，於是 $f$ 自然在這點取 $pminfty$ ；另一種是 $f_n$ 雖然在這點取有限值，但隨著 $n ightarrow infty$ ， $f_n$ 趨於無窮大。）
令 $E=cup_{n=1}^{infty}{x:f_n(x)=pminfty}$ ,則 $mu(E)leqsum_{n=1}^{infty}mu({x:f_n(x)=pminfty})$ (測度的次可加性)。又因為每個 $f_n$ 都是幾乎處處實值的，故 $mu({x:f_n(x)=pminfty})=0$ 。因此 $mu(E)=0$ 。
任取 $varepsilon>0$ ,對所有的 $n$ 都有： ${x:f(x)=pminfty}subseteq ((Xackslash E)cap {x:|f_n(x)-f(x)|geq varepsilon})cup E$
因此 $mu({x:f(x)=pminfty})leq mu({x:|f_n(x)-f(x)|geq varepsilon})$ 對所有的 $n$ 成立。
不等式的左邊與 $n$ 無關；右邊因為 $f_n o f ext{ in measure}$ ，故隨著 $n ightarrow infty$ 而趨於 $0$
那麼我們取 $n ightarrow infty$ ,就得到 $mu({x:f(x)=pminfty})=0$ ，這就說明了 $f$ 是幾乎處處實值。 $square$

(3) $f_n o f,g ext{ in measure}Rightarrow f=g ext{ a.e.}$

令 $E={x:f(x) e g(x)}$ , $E_m={x:|f(x)-g(x)| geqfrac 1m,min mathbb{Z}^+}$
則 $E=cup_{m=1}^{infty}E_m$ 。
由 $|f-g| geqfrac 1m$ 推出 $|f-f_n| geqfrac 1{2m}$ 或者 $|f_n-g| geqfrac 1{2m}$ (這是因為，若同時 $|f-f_n|,|f_n-g| <frac 1{2m}$ ,則 $|f-g| leq|f-f_n| +|f_n-g| <frac 1m$ 與 $|f-g| geqfrac 1m$ 矛盾)。
因此對任意的 $n$ 有： $E_msubseteq {x:|f-f_n| geqfrac 1{2m}}cup {x:|f_n-g| geqfrac 1{2m}}$
因此 $mu(E_m)leq mu({x:|f-f_n| geqfrac 1{2m}})+mu( {x:|f_n-g| geqfrac 1{2m}})$
令 $n o infty$ ,得 $mu(E_m)=0$ 。進而 $mu(E)=0$ 。 $square$

(4) $f_n o f ext{ in measure}Rightarrow |f_n| o |f| ext{ in measure}$

(設 $g$ 是函數， $|g|$ 的定義為： $forall x$ , $|g|(x)=|g(x)|$ )
由絕對值的三角不等式有： $| |f_n(x)|-|f(x)| |leq |f_n(x)-f(x)|$
因此，對任意 $varepsilon>0$ ,若 $| |f_n(x)|-|f(x)| |geqvarepsilon$ 就有 $|f_n(x)-f(x)|geqvarepsilon$
因此 ${x:| |f_n|-|f| |geqvarepsilon}subseteq {x:|f_n-f|geqvarepsilon}$

故 $n o infty$ 時 $mu({x:| |f_n|-|f| |geqvarepsilon}) o 0$ ,即 $|f_n| o |f| ext{ in measure}$ $square$

(5) $egin{align*} &f_n o f & g_n o g ext{ in measure}\ &Rightarrowforallalpha,etain mathbb{R},alpha f_n+eta g_n o alpha f+eta g ext{ in measure} end{align*}$

因為 $egin{align*} |alpha f_n+eta g_n - (alpha f+eta g)|&=|(alpha f_n-alpha f)+(eta g_n-eta g)|\ &leq |alpha ||f_n- f|+|eta|| g_n- g| end{align*}$
所以 $egin{align*} &{x:|alpha f_n+eta g_n - (alpha f+eta g)|geqvarepsilon}\ &subseteq{x:|f_n-f|geqfracvarepsilon{|alpha|}}cup {x:|g_n-g|geqfracvarepsilon{|eta|}} end{align*}$
因此當 $n o infty$ , $mu({x:|alpha f_n+eta g_n - (alpha f+eta g)|geqvarepsilon}) ightarrow0$ ,也即 $alpha f_n+eta g_n o alpha f+eta g ext{ in measure}$ $square$

(6) $egin{align*} &mu(X)<infty, f_n o f ext{ in measure} & g ext{ a.e real-valued,measurable}\ &Rightarrow f_ng o fg ext{ in measure} end{align*}$

先證一個引理： $mu(X)<infty$ ， $g$ 幾乎處處實值且可測，則 $g$ 是幾乎有界的（almost bounded），即：對任意 $delta>0$ ，存在 $c>0$ ,使得 $mu({x:|g(x)|>c})<delta$
引理證明：對任意的 $n$ ,令 $E_n={x:|g(x)|leq n}$ ,則 $E_n$ 可測且單調遞增至 $cup_{n=1}^{infty}E_n$ 。
容易驗證 $cup_{n=1}^{infty}E_n={x:g(x)inmathbb{R}}$ ，又因為 $g$ 幾乎處處實值，故 $cup_{n=1}^{infty}E_n=X$ 。由1.2節S1測度(Continuity from Below)的性質，得到 $lim_{n oinfty}mu(E_n)=mu(lim_{n oinfty}E_n)=mu(cup_{n=1}^{infty}E_n)=mu(X)$ 。又因為 $mu(X)<infty$ 和 $lim_{n oinfty}mu(E_n)=mu(X)$ ，那麼數列極限的定義知：對 $delta>0$ ，存在 $N$ ,使得 $ngeq N$ 時， $mu(X)-mu(E_n)<delta$ 。而 $mu(X)-mu(E_n)=mu(Xackslash E_n)=mu({x:|g(x)|>n})$ 。
綜上，對任意 $delta>0$ ，存在 $c>0$ ,取 $c=n$ ，使得 $mu({x:|g(x)|>n})<delta$ . $square$
證明(6): 令 $F={x:|g(x)|leq n}$ ， $E={x:|f_ng-fg|geqvarepsilon}$ 則
$Ecap F={x:|f_n-f|cdot|g|geqvarepsilon}cap{x:|g|leq n}={x:|f_n-f|geq fracvarepsilon n}$

$egin{align*} &{x:|f_ng-fg|geqvarepsilon}\ &=(Ecap F)cup (Ecap F^c)subseteq {x:|f_n-f|geq fracvarepsilon n}cup F^c end{align*}$
那麼 $n o infty$ , $mu(E)leq mu({x:|f_n-f|geqfracvarepsilon n})+mu(F^c) ightarrow0$
即是 $f_n g o fg ext{ in measure}$

(7) $egin{align*} &mu(X)<infty, f_n o f & g_n o g ext{ in measure} \ &Rightarrow f_ng_n o fg ext{ in measure} end{align*}$

先證明幾個結論：
(a) $f_n o 0 ext{ in measure}Rightarrow f_n^2 o 0 ext{ in measure}$
證(a): ${x:|f^2_n-0|geqvarepsilon}={x:|f_n-0|geqsqrt{varepsilon}} ightarrow0, ext{as } n o infty$
(b) $f_n o f ext{ in measure}Rightarrow f_n^2 o f^2 ext{ in measure}$
證(b) : $f_n o f ext{ in measure}mathop Leftrightarrow limits^{by (1)} f_n-f o 0 ext{ in measure}mathop Rightarrow limits^{by(a)} (f_n o f)^2 o0 ext{ in measure}$
即是 $(f_n o f)^2=f_n^2+f^2-2f_nf ightarrow0 ext{ in measure}$ （式1）。
根據(6)和(1） $2f_nf-2f^2 o0 ext{ in measure}$ （式2）。

根據(5),將式1和式2相加得： $f_n^2-f^2 o 0 ext{ in measure}$
再根據（1）即是： $f_n^2 o f^2 ext{ in measure}$
證明(7): $f_ng_n=frac14((f_n+g_n)^2-(f_n-g_n)^2)$
根據(5)和(b), $frac14((f_n+g_n)^2-(f_n-g_n)^2) o frac14((f+g)^2-(f-g)^2)=fg ext{ in measure}$
即是： $f_ng_n o fg ext{ in measure}$

(8) $egin{align*} &mu(X)<infty, f_n o f & g_n o g ext{ in measure} & g_n,g e0 ext{ a .e} \ &Rightarrow frac{f_n}{g_n} o frac{f}{g} ext{ in measure} end{align*}$

Section 2 幾乎處處收斂、幾乎一致收斂、依測度收斂的關係

測度空間 $(X,mathfrak{a},mu)$

定理1 (幾乎一致收斂一定依測度收斂)

$f_n o f ext{ almost unif.}Rightarrow f_n o f ext{ in measure}$

因為 $f_n o f ext{ almost unif.}$ ，故對任意 $delta>0$ ,存在可測子集 $E$ 滿足 $mu(E)<delta$ ,使得 $f_n$ 在 $Xackslash E$ 上一致收斂於 $f$ ，即是： $varepsilon>0,exists N, i ngeq N,|f_n(x)-f(x)|<varepsilon,forall x in X ackslash E$

因此對任意的 $ngeq N$ , ${x:|f_n(x)-f(x)|geqvarepsilon}subseteq E$
則當 $ngeq N$ 時， $mu({x:|f_n(x)-f(x)|geqvarepsilon})leq mu( E)<delta$
即是 $f_n o f ext{ in measure}$ $square$

推論1 (有限測度，幾乎處處收斂 $Rightarrow$ 依測度收斂）

$mu(X)<infty$ , $f_n o f ext{ a.e.}Rightarrow f_n o f ext{ in measure}$

$mu(X)<infty$ ，由Egoroff定理得： $f_n o f ext{ a.e.}Rightarrow f_n o f ext{ almost unif.}$
再由定理1，即可證明。 $square$

小結

幾乎處處收斂、幾乎一致收斂、依測度收斂的關係如下圖

說明

(1) $f_n o f ext{ almost unif.}$ 意味著 $f o f ext{ a.e.}$ 和 $f_n o f ext{ in measure}$

見2.3節S2定理1和本節定理1

(2)當 $mu(X)<infty$ 時， $f_n o f ext{ a.e.}$ 意味著 $f o f ext{ almost unif.}$ 和 $f_n o f ext{ in measure}$ 。 $mu(X)=infty$ 時不成立

$mu(X)<infty$ 時，見Egoroff定理和本節推論1.
$mu(X)=infty$ 時，見2.3節S2例子3和下面的例子。

例子3

( $mu(X)=infty,$ $f_n o f ext{ a.e.} otRightarrow f_n o f ext{ in measure}$ )

在Lebesgue測度空間 $(E,L,m)$ ,其中 $E=(0,infty)$ 。令函數序列 $f_n(x)=egin{cases} 1,quad xin(0,n] \ 0,quad xin (n,infty)end{cases}$ , $nin mathbb{Z}^+$ 。顯然 $f_n$ 在 $E$ 上處處收斂於 $f=1$ 。

但對任意的 $nin mathbb{Z}^+$ ，取 $0<varepsilon<1$ , $m({x:|f_n-1|geqvarepsilon})=m((n,infty))=infty$

所以 $f_n$ 在 $E$ 上不依測度收斂於 $f=1$ 。

(3) $f_n o f ext{ in measure}$ 不能推出 $f o f ext{ a.e.}$ ，自然也不能推出 $f_n o f ext{ almost unif.}$

見本節例子2.

(4） $f_n o f ext{ in measure}$ ，意味著：存在 ${f_n}$ 的子列 ${f_{n_k}}$ ，使得 $f_{n_k} o f ext{ almost unif.}$ ,那麼自然也有 $f_{n_k} o f ext{ a.e.}$

見本節S3的推論1

Section 3 依測度柯西序列（Cauchy sequence in measure）

由前面看到，我們在證明函數序列 ${f_n}$ 依測度收斂時，需要知道收斂函數 $f$ 。然而很多時候是沒法求出收斂函數 $f$ 的，或者我們不關心收斂到哪個函數。下面引入「依測度柯西序列」，無需知道收斂函數 $f$ ，即可判斷函數序列 ${f_n}$ 是否依測度收斂。接下來將證明： ${f_n}$ 是依測度柯西序列等價於 ${f_n}$ 依測度收斂

定義2（Cauchy sequence in measure）

幾乎處處實值的可測函數序列 ${f_n}$ 稱為是依測度柯西序列（Cauchy sequence in measure），如果對任意 $varepsilon>0$ ,有 $mu({x:|f_n-f_m|geq varepsilon}) ightarrow 0, ext{ as }m,n o infty$

或者，

任意 $varepsilon,delta>0$ ,存在 $Nin mathbb{Z}^+$ ,使得 $m,ngeq N$ 時，有 $mu({x:|f_n-f_m|geq varepsilon})<delta$

若 ${fn}$ 是依測度柯西序列，則記作 ${f_n} ext{ Cauchy in meas.}$ (讀作 $f_n$ is Cauchy in measure.)

$Delta$ 定理2 (F. Riesz)

設測度空間 $(X,mathfrak{a},mu)$ ,幾乎處處實值的可測函數序列 ${f_n} ext{ Cauchy in meas.}$ ，則存在某個子序列 ${f_{n_k}}$ 和可測函數 $f$ ，使得 $f_{n_k} o f ext{ almost unif.}$

註：由2.3節S2定理1，自然也有 $f_{n_k} o f ext{ a.e.}$

(1)構造子序列 ${f_{n_k}}$ ：
因為 ${f_n} ext{ Cauchy in meas.}$ ,故對不同的 $kin mathbb{Z}^+$ ，令 $varepsilon=delta=frac1{2^k}$ ,一定能找到正整數 $n_k$ ,使得 $m,ngeq n_k$ 時，有 $mu({x:|f_m-f_n|geq frac1{2^k}})<frac1{2^k}$ 。然後我們將找出的 $n_k$ ( $kin mathbb{Z}^+$ )）,按照遞增的方式、即是 $n_1<n_2<cdots$ ，排列成數列 ${n_k}$ 。最後與 ${n_k}$ 對應，選出 ${f_n}$ 的子列 ${f_{n_k}}$ 。(測試：子列 ${f_{n_k}}$ 是不是唯一的？)
(2) 我們來證明子列 ${f_{n_k}}$ 是幾乎一致收斂的。
（需要利用在完備度量下，一致柯西序列(uniform Cauchy)與一致收斂是等價的，建議查看Rudin的《數學分析原理》）
令 $E_k={x:|f_{n_k}-f_{n_k+1}|<frac1{2^k}}$ ，則 $E_kin mathfrak{a}$ 。
再令 $F_m=cap_{k=m}^{infty}E_k$ ,則 $F_m in mathfrak{a}$ 。
(a)我們先來證明， ${f_{n_k}}$ 在 $F_m$ 上是uniform Cauchy的:
設 $h>j>m$ ，對任意的 $xin F_m$ ,由 $F_m$ 的定義有： $xin E_{h-1},E_h,...,E_j$ 。再由 $E_k$ 的定義有： $|f_{n_h-1}-f_{n_h}|<frac1{2^{h-1}}$ , $|f_{n_h}-f_{n_h+1}|<frac1{2^{h}}$ ,……， $|f_{n_j}-f_{n_j+1}|<frac1{2^{j}}$ 。
那麼由三角不等式 $|f_{n_h}-f_{n_j}|<frac1{2^{h-1}}+cdots+frac1{2^{j}}=frac1{2^{j-1}}<varepsilon$
只需取 $j>min{m,-frac{lnvarepsilon}{ln2}+1}$ 即可。
也即是當 $h,j$ 足夠大時， $|f_{n_h}-f_{n_j}|$ 可以任意小。故 ${f_{n_k}}$ 在 $F_m$ 上是uniform Cauchy的。
(b)因為 ${f_{n_k}}$ 在 $F_m$ 上是uniformly Cauchy的，故 ${f_{n_k}}$ 在 $F_m$ 上是一致收斂的。（見Rudin《數學分析原理》）
${f_{n_k}}$ 在 $F_m$ 上是一致收斂的，那麼對任意 $xin F_m$ , $lim_{k oinfty} f_{n_k} (x)$ 存在。
(3)構造 ${f_{n_k}}$ 的收斂函數 $f$ ：
因為 $F_m$ 是遞增的，令 $A=cup_{m=1}^{infty}F_m$ , 則 $Ain mathfrak{a}$
令 $[f(x) = left{ {egin{array}{*{20}{L}} mathop {lim }limits_{k o infty } f_{n_k}(x),& ext{if } x in A ( ext{i.e. }xin F_m)\ quad 0,& ext{if } x otin A end{array}} ight.]$
那麼我們有以下結論：
(i) $f$ 是可測的。因為 $f=chi_Acdot lim_{k oinfty} f_{n_k}$ 。因為 $A$ 可測故 $chi_A$ 可測（見2.1節S2命題1）；因為 $f_{n_k}$ 可測，故 $lim_{k oinfty} f_{n_k}$ 可測（見2.2節S1定理2）；最後兩個可測函數的乘積也是可測函數（見2.2節S1定理1），即 $f=chi_Acdot lim_{k oinfty} f_{n_k}$ 可測。
(ii) $f_{n_k} o f ext{ unif. on } F_m$ 。這在（2）已證明。
(iii) $F^c_m=igcup_{k=m}^{infty}E_k^c$ ,故 $mu( F_m^c)leq sum_{k=1}^{infty}mu(E_k^c)leq sum_{k=1}^{infty}frac1{2^k}=frac1{2^{m-1}}$
那麼對任意 $varepsilon>0$ ,只需取 $mgeq[-frac{lnvarepsilon}{ln2}+1]+1$ ,即有 $mu( F_m^c)<varepsilon$ 且 $f_{n_k} o f ext{ unif. on } F_m$ 。這就證明了 $f_{n_k} o f ext{ almost unif. }$

$Delta$ 定理3

${f_n} ext{ Cauchy in measure}Leftrightarrow f_n o f ext{ in measure}$

" $Leftarrow$ ": 對任意 $varepsilon>0$ ,有
${x:|f_n-f_m|geqvarepsilon}subseteq{x:|f_n-f|geqfracvarepsilon2}cup{x:|f-f_m|geqfracvarepsilon2}$
故 $mu({x:|f_n-f_m|geqvarepsilon})leqmu({x:|f_n-f|geqfracvarepsilon2})+mu({x:|f-f_m|geqfracvarepsilon2})$
當 $n,m o infty$ 時， $mu({x:|f_n-f_m|geqvarepsilon}) o 0$
" $Rightarrow$ ": ${f_n} ext{ Cauchy in measure}$ ，由定理2，,存在可測函數 $f$ 和子序列 ${f_{n_k}}$ ,使得 $f_{n_k} o f ext{ almost unif.}$ 。再由S2定理1，得 $f_{n_k} o f ext{ in measure}$ 。
又因為 ${x:|f_n-f|geqvarepsilon}subseteq{x:|f_n-f_{n_k}|geqfracvarepsilon2}cup{x:|f_{n_k}-f|geqfracvarepsilon2}$
所以 $mu({x:|f_n-f|geqvarepsilon})leq mu({x:|f_n-f_{n_k}|geqfracvarepsilon2})+mu({x:|f_{n_k}-f|geqfracvarepsilon2})$
令 $n,n_k o infty$ , $mu({x:|f_n-f_{n_k}|geqfracvarepsilon2}) o 0$ ( $f_n ext{ Cauchy in measure}$ )
$mu({x:|f_{n_k}-f|geqfracvarepsilon2}) o 0$ （ $f_{n_k} o f ext{ in measure}$ ）
故 $mu({x:|f_n-f|geqvarepsilon}) o 0$

推論1

$f_n o f ext{ in measure}Rightarrow exists f_{n_k} i f_{n_k} o f ext{ almost unif.}$ （自然也有 $f_{n_k} o f ext{ a.e.}$ ）

$f_n o f ext{ in measure}$ 即是 $f_n ext{ Cauchy in measure}$ .
由定理2，存在可測函數 $g$ 和子列 ${f_{n_k}}$ ，使得 $f_{n_k} o g ext{ almost unif.}$ ,進而有 $f_{n_k} o g ext{ in measure}$ 。
又因為 $f_{n} o f ext{ in measure}$ ,子列自然也有 $f_{n_k} o f ext{ in measure}$
再由S1性質(3)，得到 $f=g ext{ a.e }$
因此 $f_{n_k} o f ext{ almost unif.}$

習題

1 在例子2的序列 ${f_n}$ 里，找出一個子序列 ${f_{n_k}}$ ,使得 $f_{n_k} o f ext{ a.e.}$

2 設 $X$ 是正整數集 $mathbb{Z}^+$ ; $mathfrak{a}$ 是所有 $X$ 的子集構成的集合，即 $mathfrak{a}=mathscr{P}(X)$ ;對任意 $Ein mathfrak{a}$ ,測度 $mu(E)$ 定義為 $E$ 中元素的個數。證明在這個測度空間 $(X,mathfrak{a},mu)$ 中，依測度收斂等於於一致收斂。

3 $f_n o g ext{ in measure},f=g ext{ a.e.}Rightarrow f_n o f ext{ in measure}$

$F={x:f ot =g}$ ,則 $mu(F)=0$ 。對任意 $varepsilon>0$ ,令 $E={x:|f_n-f|geqvarepsilon}$ 。
$E$ 可表示為 $E=(Ecap F^c)cup(Ecap F)$ ,則 $mu(E)leqmu(Ecap F^c)+mu(Ecap F)$ 。
而 $mu(Ecap F)leqmu(F)=0$ .
再計算 $mu(Ecap F^c)$ 。因為 $Ecap F^c={x:|f_n-f|geqvarepsilon}cap{x:f =g}={x:|f_n-g|geqvarepsilon}$
因此 $n o infty$ 時， $mu(Ecap F^c) o0$ ，故而 $mu(E) o0$ 。
因此 $f_n o f ext{ in measure}$