高等代數與線性代數

06-04

高等代數與線性代數

我沒上過線性代數的課,只是考研要考數學1和高等代數(專業課),感覺可以比較一下這兩者的差別.

數域與封閉問題

證明: $A in Q^{ n imes n}$ , $A$ 可逆, $A^{-1} in Q^{n imes n}$

因為線性代數完全閹割了除了特徵多項式以外所有多項式內容.有的概念的意義就變得不那麼清楚了.比如行列式為什麼要那樣定義.行列式定義的主要好處是:作為矩陣的函數.若 $A in P^{n imes n}$ 則 $det(A) in P$

這一點是顯然的，因為行列式只涉及矩陣元素的乘法和加法，而數域 $P$ 對這些是封閉的。而由行列式定義的伴隨矩陣就可直接得到逆矩陣總在與原矩陣相同的數域中。正如上面的命題，有理數域上的矩陣的逆矩陣總在有理數域中。

類似的,克拉默法則給出了 $Ax = eta$ 的解總和 $A$ 與 $eta$ 所在的數域的同一個數域中，從而如果 $A,eta$ 都是有理數，則解就不會有 $sqrt{2}$ 突然冒出來。（儘管很少用定義算行列式，也很少用克拉默法則解方程。）這種命題雖然基本都可以通過高斯消元法蹩腳的證明，但顯然沒有行列式的優雅。

並不是所有東西都是封閉的，在基本只考慮 $R$ 的線性代數中，一個不可避免的不封閉的東西就是特徵多項式的因式分解（來求特徵值），根據代數基本定理，所有多項式可以在複數域上分解為一次因式的乘積。那麼一般的實數矩陣當然會有復特徵值，不過也許線性代數成功的讓讀者忽視掉了這一點，致使有人在數學軟體特徵分解時分出了復特徵值還感到吃驚。

多項式作為矩陣元素

證明: $A$ 不可逆， $exists delta >0$ , $forall t, 0<t<delta$ , $A+tE$ 可逆。

這是因為 $det(A + tE)$ 是一個 $n$ 次多項式，則它至多有 $n$ 個根。取這些根以外的所有的 $t$ 都可以可逆，這也意味著某種意義上不可逆矩陣是「奇異」的，「稀疏」的相對滿秩矩陣。

這個稀疏性可以用來把可逆矩陣上的某些結果直接推廣到不可逆矩陣上。

證明: $(AB)^* = B^*A^*$

這個命題的在 $A,B$ 可逆時是容易證明的。而對於不可逆情況，作 $A + tE$ , $B+tE$ 則它們在無數個 $t$ 取值上都是可逆的。於是 $((A+tE)(B+tE))^* = (B+tE)^*(A+tE)^*$

在無數個 $t$ 取值上成立。則方程兩邊的矩陣的元素都是 $t$ 的多項式，則它們相等（兩個多項式若在次數+1的點處取值一樣，則兩多項式相等）。則上式不只在某些 $t$ 的取值上相等，而且在多項式意義上也是相等的，從而取 $t=0$ 即得:

$(AB)^* = B^* A^*$

還有很多諸如此類的，令 $t o 0$ 之類利用逆矩陣處理不可逆矩陣（可以看成這些問題並不需要精確的逆矩陣，只需要十分接近的逆矩陣即可）的問題。當然這不是說涉及不可逆矩陣不可逆「缺陷」的問題都可以這麼解決。

最小多項式

證明: $A^m = E$ ，則 $A$ 可以對角化。

這是因為 $lambda^m - 1$ 為 $A$ 的零化多項式。故 $A$ 的最小多項式 $m(lambda)|(lambda -omega^1)dots(lambda - omega^n)$

故它是一次因式的乘積，則 $A$ 可以對角化。

最小多項式用在包含 $A$ 的矩陣多項式的問題比較方便，暴力。像什麼冪等矩陣 $A^2=A$ 則 $A$ 可對角化用線性代數方法證可以要繞來繞去證半天。而用最小多項式方法證：

顯然 $lambda(lambda-1)$ 為 $A$ 的最小多項式，則由它無重因式知 $A$ 可以對角化。

最小多項式的靈活運用必須了解多項式的基本理論（整除互素）之類的，而且經常要訴諸 $lambda$ 矩陣的行列式因子的計算。這可能就是為什麼如此有力的工具被閹割掉的原因。

若爾當標準形

$A in C^{n imes n} , A^r = 0$ ,求 $A$ 的秩的最大值和最小值。

這個問題如果知道Jordan標準形，做法是顯然的。

雖然Jordan標準形可以用來迭代，就像一些線性代數問題也構造對角線取 $0$ 的Jordan塊一樣。

$J= egin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & cdots & 0 \ 0 & 0 & 1 & cdots & 0 \ vdots & vdots & ddots & ddots & 1\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 end{pmatrix}$

但是卻沒有它的變換矩陣的一般求法（雖然在一些特例中求出變換矩陣的題目倒不罕見。。）儘管可以由初等因子直接得到Jordan標準形。

但是正如上面一些不可逆矩陣的問題可以利用逆矩陣解決。一些不可對角化的矩陣也可以用Jordan標準形的擬對角化解決，正如上面的問題一樣。

（未完待續）