等比數列、數列求和

等比數列、數列求和

二. 重點、難點：

1. 理解等比數列的有關概念；掌握等比數列的通項公式和前

項和公式，並能運用這些知識解決一些簡單的實際問題。

2. 通過觀察數列通項公式的特點選擇合適的方法，求數列的前

項和。

【典型例題】

[例1] 在等比數列

中，

，

，求

和

。

解：因

是等比數列，故

，結合

，可知

是方程

的兩根，解方程，得

故

，

或

當

時，

，得

又因為

，

，故

當

，

時，

得

又因為

綜上所述，

，公比

或

[例2] 已知數列

為等差數列，公差

，

的部分項組成下列數列：

，恰為等比數列，其中

，

，求

解：設

的首項為

∵

成等比數列

∴

得

，

∵

，又

∴

∴

[例3] 設

為等差數列，

為等比數列，

，

，

，分別求出

，

的前10項的和

。

解：由

為等差數列，

為等比數列

∴

，

由已知

，得

∴

∵

∴

∴

由

知

的公差為

由

知

或

∴

或

[例4] 設等比數列

的各項均為正數，項數是偶數，它的所有項的和等於偶數項和的4倍，且第二項與第四項的積是第3項與第4項和的9倍，問數列

的前多少項和最大？（

，

）

解：方法一：設公比為

，項數為

，

，依題意有

化簡得

解得

設數列

前

項和為

，則

可見，當

時，

最大

而

，

故

的前5項和最大

方法二：接前，

於是

∴ 數列

是以

為首項，以

為公差的等差數列，令

，得

∴

由於

∴

的前5項和最大

[例5] 求數列的前

項和：

，…

解：設

當

時，

當

時，

[例6] 在數列

中，

，又

，求數列

的前

項的和。

解：∵

∴

∴ 數列

的前

項和

[例7]求

的值。

解：設

①

將①式右邊反序得

②

又 ∵

①+②得

∴

[例8] 已知數列

滿足

，

是首項為1，公比為

的等比數列。

（1）求

的表達式；

（2）如果

，求

的前

項和

解：

（1）

，當

時，

∴

因而

（2）

∴

令

①

則

②

①－②得

故

又1+3+5+…+

∴

[例9] 已知數列

的前

項和為

，且滿足

（

），

。

（1）求證：

是等差數列；

（2）求

的表達式；

（3）若

時，求證：

解：

（1）證明：∵

∴

（

） ∴

又

∴

是以2為首項，2為公差的等差數列

（2）由（1）

∴

當

時，

[或

時，

]

當

時，

∴

（3）證明：由（2）知，

∴

【模擬試題】

一. 選擇題：

1. 在各項都為正數的等比數列

中，首項

，前三項和為21，則

等於（ ）

A. 33 B. 72 C. 84 D. 189

2. 若等比數列

的公比

，前

項和為

，則

與

的大小關係是（ ）

A.

B.

C.

D. 不確定

3. 已知數列

滿足

，

（

），則當

時，

等於（ ）

A.

B.

C.

D.

4. 在數列

中，若

，則

等於（ ）

A.

B.

C.

D.

5. 化簡

（

）的結果是（ ）

A.

B.

C.

D.

6. 數列

的前

項和為

，則

等於（ ）

A. 1003 B.

C. 2006 D.

7.

等於（ ）

A.

B.

C.

D.

或

8. 某工廠第一年年產量為A，第二年的增長率為

，第三年的增長率為

，這兩年的平均增長率為

，則下列關係正確的是（ ）

A.

B.

C.

D.

二. 解答題：

1. 等比數列

的各項均為正數，其前

項中，數值最大的一項是54，若該數列的前

項之和為

，且

=80，

，求：

（1）前100項之和

；

（2）通項公式

。

2. 已知數列1，

，

，…，

（

），求數列的前

項和。

3. 已知

（1）當

時，求數列

的前

項和

；

（2）求

4. 設數列

是公差為

，且首項為

的等差數列，求和：

【試題答案】

一.

1. C

解析：∵

，

∴

或

（舍）

而

2. A

解析：由等比數列通項公式和前

項和公式得

又

，

則

， 即

3. C

解析：由已知

且

得到

，

，

，

由此猜想出

4. D

解析：由

，得

（

），當

時，

不適合，所以

5. B

解析：∵

∴

6. A

解析：

（共1003個）=1003

7. D

解析：原式

8. B

解析：設平均增長率為

，則第三年產量為

，所以應該有

即

∴

從而

二.

1. 解：設公比為

∵

∴

，則最大項是

（∵

） ①

又

②

③

由①②③解得

，則

（1）前100項之和

（2）通項公式為

2. 解：由題意可知，

的通項是等差數列

的通項與等比數列

的通項之積，設

①

②（設置錯位）

①－②得

（錯位相減）

當

時，利用等比數列的求和公式，得

∴

當

時，

3. 解析：

（1）當

時，

，這時數列

的前

項和

+…+

①

①式兩邊同乘以

，得

②

①式減去②式，得

若

，

若

（2）由（1），當

時，

則

當

時，

此時，

若

，

若

，

4. 解析：∵

∴

∴

又

∴

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