ARIMA模型怎麼根據拖尾和截尾來判斷p，q？

06-15

或者有其他好方法？

$ARIMA(p, d, q)$ 一般先進行 $d$ 次差分轉化為 $ARMA(p, q)$ 來考慮。所以下面先介紹EACF(extended ACF)如何定 $ARMA(p, q)$ 的階，然後用一個模擬的 $ARIMA(1, 1, 2)$ 例子來展示如何在R語言中用EACF定階。

相關理論

首先拖尾跟截尾都是對自相關函數(ACF)和偏自相關函數(PACF)而言的。對於 $ARMA(p, q)$ 模型，我們有

ACF和PACF的拖尾截尾

可以看出，對於純 $AR(p)$ 或 $MA(q)$ 模型，ACF和PACF的拖尾截尾性質很明顯，可以因此很容易地定階。但是對於混合的 $ARMA(p, q)$ 模型而言，便不是那麼方便了。

文獻[1]提出了EACF方法，對於未知的 $ARMA(p, q)$ ，採用迭代的過程來定階。假設當前AR階數為 $k$ , MA階數為 $j$ ，則我們可以通過一系列的 $j$ 次回歸（這裡略去，具體過程可以參見文獻[1]）來一致估計出AR的係數 $ilde phi_i, i=1,ldots,k$ ，然後構造自回歸殘差

$W_{t,k,j}=Y_t- ilde phi_1Y_{t-1}-cdots- ilde phi_kY_{t-k}$

${W_{t,k,j}}$ 的ACF便稱為EACF。當 $k=p, jge q$ , ${W_{t,k,j}}$ 近似 $MA(q)$ 模型，所以其ACF會滯後 $q$ 階後截尾。當 $k>p$ ,會出現過擬合，這也將導致 ${W_{t,k,j}}$ 的MA階數增加，文獻[1]中指出將EACF的信息匯總在一張表中，若 ${W_{t,k,j}}$ 的 $j+1$ 階滯後ACF顯著不為0，則第 $k$ 行和第 $j$ 列元素用符號`x`表示，否則用0表示。這樣理論上 $ARMA(p,q)$ 有一個由0構成的三角模式。下圖是 $ARMA(1,1)$ 的理論EACF，零三角的左上角的0所在的行列表徵了ARMA的階。