廣義相對論 ——純粹理性思維的巔峰之作

1915 年11 月25 日，36 歲的愛因斯坦在普魯士科學院報告了「基於廣義相對論對水星近日點運動的解釋」，接著在1916 年第7 期的物理年鑒上正式發表了「廣義相對論基礎」一文，對廣義相對論作了系統的闡述，並特別地在B部分把發展廣義相對論所採用的數學工具以最簡單明了的方式(in m?glichst einfacher und durchsichtiger Weiser)作了介紹，以免物理學家為了理解廣義相對論還要費心去學習那些數學。這標誌著廣義相對論的誕生。廣義相對論是愛因斯坦歷經七年切磋琢磨而成的純粹理性思維之巔峰之作，其採用的數學工具抽象艱澀，其得出的物理結論出人意料，而貫穿其中的創造者的敏銳直覺更讓人自嘆弗如。在1919 年恆星光線經過太陽附近發生彎折的預言被觀測證實以後，愛因斯坦一夜之間成了家喻戶曉的人物，相對論成了艱深學問的符號，而「愛因斯坦」乾脆就是天才的同義詞。

愛因斯坦是20 世紀最偉大的科學家，和牛頓一樣是所有時代最偉大的科學家。在所謂的20 世紀物理學兩大支柱之中，愛因斯坦獨立成就了一個(相對論，包括狹義相對論和廣義相對論)，並影響和塑造了另一個(量子力學)，這個行止笨拙的教授簡直就是「純粹智慧的化身」。人們對愛因斯坦的讚譽從來都不吝文辭，美國《時代周刊》稱讚他為天才中的天才，只是通過冥想就能發現宇宙並不是如我們所見的那樣。或許楊振寧先生的評價最為專業、中肯：「(愛因斯坦是)一個特立獨行的思想者，無畏、獨立、富有創造性，而且執著。」

時光荏苒，轉眼間廣義相對論已面世百年。廣義相對論和它的創造者一直在影響物理學甚至數學的發展。無疑地，對廣義相對論創立百年最好的紀念是學習它從而能從專業的角度去欣賞它；倘若是能掌握它並用之於研究，對於一個物理學習者來說，那該是怎樣的賞心快事。

本文講述一個不專業的物理學習者對廣義相對論及其創造者的禮讚，內容涉及相對論發展的所有階段以及愛因斯坦以外的很多偉大學者。不把愛因斯坦置於一堆天才及其偉大創造的背景之上就無法顯出愛因斯坦是天才中的天才，重要的是廣義相對論也會看似無源之水。沿著樸素的相對論、伽利略的相對論經狹義相對論抵達廣義相對論，一路上的智力風景會讓人驚訝不已。愛因斯坦工作的特徵包括深度、眼界、想像力、執著與獨立性，如要深刻理解和學習愛因斯坦的這些偉大品質，閱讀其著作也許才是正確的途徑。

據說物理學開始於~2600 年前，米利都學派的泰勒斯某一天突然領悟到自然(φυσι?)是可以認識的，而非總是要簡單地把其中發生的一切都歸於神的意志。物理學(φυσικ?)由此興起，到開普勒(1571—1630)的時代物理學已經相當成熟，人類通過觀察思考獲得了相當豐厚的力學、光學和天文學知識。一個值得注意的事實是，人們觀察自然現象時多是以自身為參照點的；就關於更廣大的宇宙圖景來說，地心說是觀察者將觀察者的腳下作為參照點的自然而然的結果。

開普勒1601 年自第谷手中繼承的行星軌道觀測數據就是以地球為中心的, 若將火星的軌道畫出來，大致上如圖1 所示。對這樣的軌道要想給出一個簡明的數學描述，太挑戰人的數學才能了。將參照點移到太陽上，重新計算的火星軌道看起來則是一個簡單多了的閉環。開普勒嘗試用卵形線去描述這樣的火星軌道，在一番失敗以後，他於1605 年引入了橢圓軌道的概念，這構成了所謂的開普勒第一定律。注意，開普勒第二定律是1602年就被發現了的。

圖1 以地球為參照點的火星軌道(取自開普勒1609 年出版的《新天文學》)

將一組觀測數據換個參照點重新計算，其不言而明的假設是這並不會帶來所關切之現象背後物理規律的改變。若將物理規律寫成F(x；λ) = 0 ， λ 代表除位置坐標x 以外的任何變數，參照點改變對應的物理規律不變性意味著對於任意的x₀ ， F(x -x₀；λ)=0 成立。這個位置坐標的平移變換對應的不變性，即空間沒有擇優的起點，應該算是最初的、樸素的相對論，對應佛家智慧的「無來去處」。關於位置坐標的平移變換，在複雜一些的晶體對稱群和伽利略群/洛倫茲群中都是出現的(前者的位移是離散化的有限值，後者的位移是連續的)，只是很少被特彆強調而已。

如果說物理規律相對於觀察點移動的不變性有些抽象的話，放在具體的物理現象中去考察就容易理解的多。比如由等量正、負電荷組成的體系，其電偶極矩就與參照點，或曰坐標原點，的選擇無關。

行星軌道之奧秘的破解，關鍵的一步在於默認物理規律和物理現實不依賴於觀察點的選擇。可以理解開普勒構造出行星運行三定律時的興奮, 他得意地暗示他是那個上帝等了六千年才等到的勘破這個秘密的人，並說他的書也許要等一個世紀才能等來它的讀者。

人們在日常生活中還注意到，某些運動是不易覺察的。我國東漢時期的《尚書緯·考靈曜》中就有句云：「地恆動不止而人不知，譬如人在大舟中，閉牖而坐，舟行而不覺也。」 無獨有偶，伽利略在1632 年的《關於兩個主要世界體系的對話》中描述他的相對性原理時用的也是大船的例子，不過那船里的人們有更多的主動探索的成分。若船在水面上勻速前行，船里的人會看到「水自瓶兒中滴出，魚在缸中遊動，蝴蝶兒在艙中飛舞，一切如常」，也就是說在艙中的人通過對艙內運動的觀察無法判斷船的動靜。此結論對應佛家智慧的「動靜等觀」(圖2)。

圖2 北京西山大覺寺無量壽殿上的牌匾，上書「動靜等觀」

伽利略的相對論，用數學語言來說，就是變換r"=r -vt；t"=t 不會帶來物理規律的變化，因此我們無從判斷我們是在哪樣的勻速平移運動中。伽利略的相對論是稍後出現的牛頓力學的相對論。牛頓力學的公理包括：1)存在一個絕對的空間，在其中牛頓定律成立。相對於絕對空間作勻速直線運動的參照系是慣性系；2)所有的慣性系共有一個普適的時間。顯然， 對於形如md²r/dt² =- ?(r) 的牛頓運動定律，作伽利略變換後其形式保持不變。伽利略相對論是對哥白尼日心說更強的支持，因為在運動著的地球上我們的觀測數據指向(或者說得自)同樣的運動規律。地球是運動的觀點就不是那麼令人難以接受了。

在伽利略相對論中，絕對空間的概念被放棄了。在每一個時刻，都有一個不同的三維歐幾里得空間，用卡當的幾何語言，伽利略時空是一個基空間為R1(時間)纖維為R3(空間)的纖維叢，不同纖維之間不存在點到點的對應。伽利略時空中的測地線定義了牛頓的慣性運動；粒子加到其它粒子上的力是沒有時間延遲的，即它們總在同一個R3空間內；而物理定律必須是伽利略變換不變的。伽利略相對論中一般性的時間—空間變換可表示為x"=Rx +vt +d，t"=t +τ4) 。注意，質量出現在牛頓力學/伽利略相對論的討論中，但質量是一個孤立的參數。

亞里斯多德的物理學，開普勒的行星運動定律，伽利略的相對論，牛頓力學及萬有引力理論，這些還都是離地面不遠的物理學。

狹義相對論發展的主線之一是實用的啟發。巴黎老城區市政廳與巴黎火車站之間時鐘時間的差別對市民來說已是不小的煩惱，而不同火車站之間時鐘時間的差別對德軍參謀總長來說是會耽誤軍機大事的，電報為(粗略)協調各火車站的時鐘時間提供了技術上的可能。催生狹義相對論的現實三要素，火車、鐘錶和電報，在19 世紀最後幾年湊到了一起。注意到機械錶都有個調節時間的旋鈕，就不難理解同時性是個值得商榷的概念——絕對同時性的概念被質疑了。

狹義相對論發展的另一條主線是對電磁學理論的深入研究。麥克斯韋在引入位移電流的概念後把電磁學的經驗定律寫成了優美的麥克斯韋方程組

， 而這個方程組是可以導出波動方程的。這個方程組暗示了電磁波的存在，且此電磁波的傳播速度

數值上和當時測定的光速接近，讓人不由得猜測光是否就是電磁波。電磁波後來確實在1887 年被人為地產生出來了，而光也被確信是高頻的電磁波。一個不易覺察但卻蘊涵一場物理學革命的事實是，電磁波的傳播速度，或曰光速，是從公式計算

而來的，它從根源上從來都不涉及任何參照點！對於電磁學的波動方程，歐洲大陸的科學家會象對待任何方程一樣研究它的不變變換，1887 年德國人Woldemar Voigt 給出了這個方程的不變變換，即所謂的洛倫茲變換

。這個變換意味著量

不變和波動方程

形式的不變。值得注意的是，連廣義相對論的關鍵概念「張量」也是Woldemar Voigt提出的。在洛倫茲變換中， v 是個參數，經歷用v₁和v₂ 的兩次變換等價於用v =(v₁ +v₂)/(1+v₁v₂/c²) 作一次變換，此即狹義相對論中的速度相加公式，是光速為速度上限的數學基礎。狹義相對論的一個重要結果是質能等價關係E =mc² ——此公式後來成了狹義相對論的符號。

當時光進入19 世紀的前幾年，狹義相對論所有元素都已齊備，但是是愛因斯坦將之發展成了基本的物理學原理。愛因斯坦很早就注意到了麥克斯韋電磁理論應用到運動物體上時會顯現出某種不對稱性——磁體靠近導體和導體靠近磁體的描述有不一致的地方。對這個問題的思考不是青年愛因斯坦作為專利審查員閑來無事的消遣。1880 年，愛因斯坦全家移居慕尼黑，其父親兄弟倆創立了一個電機廠(Elektrotechnische Fabrik)，製造基於直流電技術的電氣設備。這個廠子到1894 年因為直流技術在對交流技術的競爭中失敗而倒閉，但是此時15 歲的愛因斯坦已經從這個成長氛圍中獲得了足夠多的電磁學知識和足夠深入的思考。他注意到了力學與電磁學之間的不協調，以及經典電磁理論應用到運動物體上時的不對稱性。到1905 年他的奇蹟年，愛因斯坦應已經思考該問題多年了。

愛因斯坦狹義相對論的關鍵思想是對絕對同時性的放棄以及宣稱相對於任何運動的發射體光速是恆定的且光速是速度的上限。基於這些觀點給狹義相對論或愛因斯坦貼上「革命性」的標籤，愚以為太過了些——愛因斯坦在文章中是用相當委婉的語調闡述其觀點的。

狹義相對論直到閔可夫斯基引入時空的概念才算完成，狹義相對論的時空是四維的閔可夫斯基空間，這個空間是平直的，在其中空間坐標和時間具有形式上的等價性。絕對時間的概念被放棄，時間不再是時空流型的基空間。由於存在光速作為速度上限，因此每一點可到達的物理空間由一個光錐所決定(圖3)。可以把光錐看作是切空間中的結構，那裡光錐被稱為零錐(null cone)。零錐在切空間中是球形的，由方程g_μνv^μv^ν=0 決定，其中v^μ，v^ν 是切空間中的矢量， g_μν 是閔可夫斯基度規。把有限光速當成基本的物理就是把光錐的結構當成基本的。零錐決定狹義相對論的因果律。

圖3 閔可夫斯基空間是平直的四維空間，每一點上存在一個光錐決定那裡的因果律

由電磁學理論而來的狹義相對論，或者洛倫茲協變性，以及由此導出的時空觀念，很容易將電磁學理論(法拉第與麥克斯韋的場論)重新表述。經典的動力學理論也可以加以改造以使其滿足洛倫茲協變性，一個典型的例子是洛倫茲力作用下帶電粒子的運動問題。但是，牛頓萬有引力力學不能被納入狹義相對論的框架，愛因斯坦決定將相對論擴展到引力場。

廣義相對論的想法源於1907 年，當時愛因斯坦受邀寫一篇關於狹義相對論的綜述文章。愛因斯坦注意到牛頓理論依賴於絕對同時性(absolute simultaneity)的概念，筆者以為確切的說法應是引力相互作用的即時性問題(instantaneity)。如何改造牛頓力學使其象電動力學呢，如同在電動力學裡那樣引入時間延遲？但那樣的效應很小，且會得出一些錯誤的結果，比如拋體會因為存在側向速度其下落距離要短一些。愛因斯坦覺得不能在狹義相對論的框架內解決這個問題。愛因斯坦後來說他之所以發展廣義相對論是對狹義相對論偏愛慣性運動不滿意，一個從一開始就不偏愛任何運動狀態的理論應該更讓人滿意些。狹義相對論的洛倫茲不變性太窄了，應該構造相對於四維連續統上非線性坐標變換的物理定律不變性。

牛頓引力場中的自由落體感覺不到自己的重量，這一事實給了愛因斯坦以醍醐灌頂似的啟發。愛因斯坦覺得引力質量與慣性質量之間的等價性不是偶然的，它應該更有深意，可以基於這個弱等價原理去擴展狹義相對論。進一步地，愛因斯坦認識到勻加速運動和均勻引力是等價的，或者直截了當地說勻加速運動產生一個均勻引力場——這意味著引力場可以用加速度(數學上為二階微分形式)描述。加速度意味著速度的不停變化，結合狹義相對論坐標變換中速度描述時空坐標系的轉動，顯然引力場的相對論必然涉及彎曲時空。還有重要的一點是，馬赫的力學批判引導愛因斯坦認為某個運動狀態佔優是由宇宙中的物質分布造成的，則物質分布應可自其所產生之引力場中的自由落體徑跡推知。這樣，到1912年夏天愛因斯坦手裡有了構成廣義相對論的諸多重要元素，他還需要合適的數學工具把思想翻譯成方程。

廣義協變性要求物理定律在所有的參考框架內應該取相同的數學形式。對非慣性參考框架要求物理定律不變，其實就是要求(二階微分方程形式的)物理定律對含二階微分項的變換的某種不變性，即微分同構協變性。這是一個強的、絕對性的約束。這個不變性的要求以及要構造的引力論本質上是幾何的理論決定了張量語言是合適的表達工具。愛因斯坦為此不得不花時間學習張量的數學(圖4)，試著在其上每一點狹義相對論都成立的洛倫茲流型上構造能描述引力的張量場。

圖4 愛因斯坦在蘇黎世時期張量演算的筆記

即便有了物理思想與數學工具的準備，也並不存在指向正確的非線性引力場方程的明確路徑。愛因斯坦能指望的就是基於哲學思考和對偉大綜合理論的嚮往去猜測了。從質量密度ρ 產生的弱靜引力場出發，其度規張量的分量g₀₀ 近似地為g₀₀~-(1+2?) ， 其中? 是由泊松方程

所決定的牛頓引力勢。注意到非相對論性能量密度T₀₀~ρ ，可得到關係

。這啟發了愛因斯坦去猜測對於一般的能量—動量張量T_μν 引力場的方程應該取G_μν =-8πGT_μν 的形式。顯然張量G_μν 應該具有度規張量的二階微分的量綱。考慮到能量—動量張量T_μν 是對稱的且在協變微分的意義上是守恆的等因素，愛因斯坦選取了

從而最終得到了廣義相對論的場方程

。能量—動量張量成了時空彎曲的起源，因此廣義相對論是引力的幾何理論。如同在狹義相對論中那樣，物體運動沿時空中的測地線進行，廣義相對論彎曲時空中的測地線方程為

。用數學的語言，所謂的測地線就是流型上能平行移動其切矢量的曲線。

有趣的是，愛因斯坦在1915 年11 月報告了其廣義相對論場方程的內容，1916 年3 月正式發表， 但是針對此引力場方程的一個解已由Schwarzschild 在1916 年1 月就給出了。1917 年，愛因斯坦期望從場方程得到一個靜態宇宙的解，於是引入了宇宙常數項， 由此場方程變成了

的形式。6 愛因斯坦和廣義相對論的影響

在廣義相對論之前的物理學，即便採用了日心說，也還是離地不遠的物理學。天空，或者更遙遠的宇宙， 是作為敘事背景存在的。1917 年愛因斯坦將廣義相對論用於模型化宇宙的大尺度結構，引導了引力論與現代宇宙學的發展，只是有了廣義相對論以後，宇宙的大尺度結構才成了物理學研究的對象(圖5)。愛因斯坦的廣義相對論不只是帶來了宇宙圖景認識的革命，也為理論物理學帶來了獨特的研究模式——憑藉哲學與數學支撐的理性思維去洞察自然的奧秘。愛因斯坦的思想一直主導著其後基礎物理的研究模式。愛因斯坦強調的研究方向，包括物理幾何化、非線性(真正的物理定律不可能是線性的也不可能從線性得到)以及關於場之拓撲的考慮(其實就是注重理論架構及物理現實的整體性，反映的是其整體論的哲學)，在過去幾十年間得到了長足的進展。廣義相對論還促進了幾何學的大發展和催生了統一理論的發展。雖然最終的大統一理論尚未成功，但是強—電磁—弱三種相互作用的統一依然是個了不起的進步，為物理學打開了更加廣闊的視野。此外，雖然閔可夫斯基是對稱性作為物理學主導原則的肇始者，愛因斯坦在構造相對論過程中對對稱性原則的推崇以及成功運用讓對稱性原則更加深入人心，使之成了指導和塑造理論物理的決定性概念或者原則。坐標變換不變性給出了廣義相對論，阿貝爾規範對稱性給出了電磁學，而非阿貝爾規範對稱性給出非阿貝爾規範場，這些都是對稱性原則在基礎物理領域的勝利。對稱性原則加上對稱性破缺如今也是凝聚態物理研究的範式。

圖5 (左)托勒密宇宙體系中天空是遙遠的背景。右下角代表天穹的符號? 是量子力學標誌性的符號；(右)廣義相對論關注宇宙的大尺度結構

廣義相對論是愛因斯坦一個人的輝煌，但廣義相對論卻不是無源之水。從樸素相對論簡單的參照點平移下的不變性，伽利略相對論的關於絕對時空中觀察者勻速運動的不變性，到閔可夫斯基空間中的洛倫茲不變性，再到一般贗黎曼流型上二階微分方程(或者二次型微分形式)的坐標變換不變性，相對論是一條綿密的思想河流。它一定程度上——愚以為——是對(物理學上時空結構與動力學所涉及的)二階微分方程變換不變性理論的由易到難的探索。愛因斯坦憑一己之力建立起相對論，不光是靠天才的大腦，重要的因素還包括其對電磁學細節的熟悉，德國社會深厚的哲學與數學底蘊對愛因斯坦的熏陶和幫助，前者得益於馬赫、康德、萊布尼茲等人，後者得益於格羅斯曼、閔可夫斯基和希爾伯特等人。因此愛因斯坦是幸運的，也從來都是謙虛的，其所追求的物理學之表述都是清晰簡單的(圖6)。如果把相對論同愛因斯坦的熱力學成就相參校，也許對這種哲學、數學與物理學的協同效應在愛因斯坦身上的天才體現會有更深刻的認識。檢視愛因斯坦其人其事，筆者有時甚至覺得是否可以這樣說，(理論) 物理學是得以數學化的自然哲學。此外，愛因斯坦後期把精力的大部分都花在尋求大統一場論的建立上並一直為其作辯護——自從廣義相對論被創建以來這個問題就一直盤踞在他的腦海里。追求物理理論框架的大統一，是德意志這個遲來的民族國家追求統一的集體潛意識在物理學上的投射。

圖6 1922 年愛因斯坦在法蘭西學院講課

廣義相對論是純粹理性思維的巔峰之作。但是，考察愛因斯坦創立廣義相對論的過程，無疑會看到愛因斯坦從未放棄把物理實在性作為其理論的錨點。在廣義相對論創立之前，愛因斯坦就預言了光線在引力場中的偏轉以及光譜在引力場深處的紅移，在廣義相對論發表的同時愛因斯坦就用該理論計算了水星近日點的進動。愛因斯坦的引力理論被接受，不只是因為其優雅的數學結構和能夠納入此前的牛頓理論的事實，更在於它始終關切可實證的物理實在。愛因斯坦構建廣義相對論時所採取的思維方式，其對數學簡單性的追求以及對實在性、整體論哲學的堅持，在一百年後的今天對理論物理——甚至其它自然科學領域——的研究依然具有不可忽視的指導意義。