無源系統的理解

來自專欄搞搞無源控制

首先要聲明，本文中引用了Romeo Ortega所編寫的《Passivity-based Control of Euler-Lagrange Systems: Mechanical, Electrical

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好，之前說到這個專欄的名字叫做「搞搞無源控制」。那首先肯定要對「無源控制」這個名詞有個大概的了解。

一 耗散性與無源性

相信學電氣的同學對無源這個名詞並不陌生，我們將電阻，電容和電感這種只能自身消耗或不產生能量的元器件稱為無源器件。那麼在這裡的「無源控制」中「無源」這個名詞與無源器件是不是指同樣的東西呢？剛開始接觸無源控制的時候我也好奇，無源不是指的器件嗎？為什麼會變為控制呢？後來讀了相關的書籍之後才知道，有一種系統被稱作無源系統，在無源系統中，外界供給能量的速率要不小於系統自身存儲的速率。而我們剛才所說的無源器件自身均滿足無源系統的這個要求，因而稱為無源器件也無可厚非。但是要知道，無源系統是一種分布非常廣泛的系統類別，像機械領域，機電領域和我們所熟知的電氣領域，均存在無源系統。僅僅對機器人，交流電機和功率變換器進行詳細分析，就已經讓《PBC of EL system》作者忙了至少10年時間。

在介紹無源性的時候，就必須提到另一個名詞，耗散性。耗散性是物理系統一個基本性質，與損耗或能量耗散的直觀現象有密切聯繫。耗散系統典型的例子是電子電路，其中電子和電磁能量的部分以電阻的熱能耗散掉。機械系統的摩擦力也起著相似的作用。為了從數學角度定義耗散性的性質，必須引入兩個方程：供給率和存儲方程。供給率指能量流入系統的速率，存儲方程為所測量得到的存儲在系統中的能量總量。這兩個方程通過耗散不等式相聯繫，表明了沿著耗散系統時間軌跡，供給率不會少於存儲能量的增加。這表達了一個事實，耗散系統不能存有比來自外界所供應的更多的能量。

舉個電路的例子來更加清晰地了解耗散性和無源性的概念。

圖1為一個RLC系統，電路動態性能利用基爾霍夫定律可以很輕易地得到：

在等式兩側均乘上i可得到：

等價於：

採用函數V和Γ分別代表電容存儲的電場能和電感存儲的磁場能。對上式進行從0到t的積分，可以得到能量平衡方程，為

也就是說，Н=V+Γ為電路總能量，vi是從外部進入該系統的功率，因而根據耗散性的定義，可以知道RLC電路是具有耗散性的。

那無源性和耗散性之間又有怎樣的關聯呢？從上面RLC系統的例子中，可以看到，供給率的表達式為w(u,y)=uTy，而在現實的物理系統中，供給率表達式w(u,y)並不總是這種形式。這裡，w(u,y)統稱為耗散系統的供給率表達式。若一個系統具有無源性，則其供給率表達式需要是w(u,y)= uTy的形式才可以。這裡就把無源性的性質和無源性與耗散性的區別解釋清楚了。

二 為什麼要搞無源控制

最近和我一起做實驗樣機的老師經常會說，模型最終得出來的控制器表達式，不就是相當於一個簡單的比例微分調節器嗎？那搞得這麼麻煩幹什麼？其實老師說的沒錯，從數學角度來講，無源控制律最終的結果並不複雜，而且看起來就是之前PID控制的一個變形而已。但是，這也正是無源控制與其他控制的不同之處。因為無源控制出發點是能量的控制。我們都知道，系統中各物理量都是能量變化的反映。就比如說運動物體速度變化體現了動能變化，流過電感的電流變化體現磁場能變化，因此，只要把系統的能量加以控制，那系統的物理量就能夠得到控制。之前所說的耗散性和無源性也是系統能量變化屬性。因而如果設計的物理量，從能量的角度來說能夠使系統能量函數按照我們希望的能量函數進行分布，那就可以達到控制目的。

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之後會接著寫Euler-Lagrange系統的相關理解，其建模過程中自己的一些體會。最近忙著樣機調試，沒辦法，誰讓自己是小白，只能加班加點惡補啦！估計一周更一篇吧！