Zeta函數——故事的小黃花

06-27

Zeta函數——故事的小黃花

來自專欄數學沉思錄

一：黎曼Zeta函數

黎曼Zeta函數 $zeta$ 是定義在 $Re(s)>1$ 上的全純函數：
$zeta(s):=sum_{n=1}^{infty}dfrac{1}{n^{s}}=1+dfrac{1}{2^{s}}+dfrac{1}{3^{s}}+cdots$

它具有如下基本性質：

$zeta(s)$ 可解析延拓為整個複平面上的亞純函數，它僅在 $s=1$ 處有單極點.
（函數方程）考慮 $zeta(s)$ 的完備 $hat{zeta}(s):=pi^{-s/2}Gamma(s/2)zeta(s)$ ，這裡 $Gamma$ 為Gamma函數。則 $hat{zeta}(s)$ 滿足函數方程 $hat{zeta}(s)=hat{zeta}(1-s)$ .
每個負偶數都是 $zeta(s)$ 的零點，這些零點稱為 $zeta(s)$ 的平凡零點.
（黎曼假設） $zeta(s)$ 的非平凡零點全在直線 $Re(s)=dfrac{1}{2}$ 上！
對 $sin mathbb{C}$ 滿足 $Re(s)>1$ ，由整數環的素數因子分解唯一性和幾何級數公式可得Euler積公式：

$zeta(s)=sum_{n=1}^{infty}n^{-s}=prod_{p: ext{素數}}(1-p^{-s})^{-1}=prod_{mathfrak{m}: ext{極大理想}}(1-(|mathbb{Z}/mathfrak{m}|^{-s})) ^{-1}=prod_{P:Specmathbb{Z}的閉點}(1-|kappa(P)|^{-s})^{-1}.$

數學的聖杯：Riemann假設

二：Dedekind Zeta函數

設 $K$ 是數域，定義數域 $K$ 的Dedekind $zeta$ 為
$zeta_{K}(s)=sum_{mathfrak{a}}N(mathfrak{a})^{-s}=prod_{mathfrak{p}}(1-N(mathfrak{p})^{-s})^{-1}$
這裡 $mathfrak{a}$ 取遍 $mathcal{O}_{K}$ 的非零理想， $mathfrak{p}$ 取遍 $mathcal{O}_{K}$ 的極大理想（非零的素理想）， $N(mathfrak{a}):=|mathcal{O}_{K}/mathfrak{a}|$ .

Hecke給出了 $zeta_{K}(s)$ 在整個複平面的解析延拓，延拓後的亞純函數 $zeta_{K}(s)$ 僅在 $s=1$ 處有單極點。類似地，我們也有函數方程和黎曼假設.

三：概形的Zeta函數

設 $X$ 是一個有限型概形over $mathbb{Z}$ ，定義 $X$ 的Zeta函數為
$zeta_{X}(s)=prod_{P:X~的閉點} dfrac{1}{1-N(P)^{-s}},$
這裡 $N(P)=|kappa(P)|$ 表示 $X$ 在點 $P$ 處的剩餘類域 $kappa(P)$ 中的元素個數.

注意到 $zeta(s)=zeta_{Specmathbb{Z}}(s)$ 和 $zeta_{K}(s)=zeta_{Spec mathcal{O}_{K}}(s)$ .

設 $X$ 是一個有限型概形over $mathbb{F}_{q}$ ，以 $N_{n}$ 記 $|X(mathbb{F}_{q^{n}})|$ ，定義
$Z_{X}(T):=expleft( sum_{ngeq 1}N_{n}dfrac{T^{n}}{n} ight)=1+sum_{ngeq 1}N_{n}dfrac{T^{n}}{n}+dfrac{1}{2!}(sum_{ngeq 1}N_{n}dfrac{T^{n}}{n})^{2}+cdotsin mathbb{Q}[[T]] .$

等價地： $Z_{X}(T)$ 是一個滿足如下方程的冪級數 $in mathbb{Q}[[T]]$
$Z_{X}(0)=1,qquad dfrac{d log Z_{X}(T)}{dT}=sum_{ngeq 1}N_{n}T^{n-1}.$

上述兩個定義有如下關係：

設 $X$ 是一個有限型概形over $mathbb{F}_{q}$ ，則 $X$ 也是一個有限型概形over $mathbb{Z}$ ，且我們有 $zeta_{X}(s)=Z_{X}(q^{-s}).$
由於這個關係，我們也把 $Z_{X}(T)$ 稱為 $X$ 的Zeta函數.

證明：事實上，我們可以通過如下態射把 $X$ 看成over $mathbb{Z}$ 上的概形：

$X o ext{Spec }mathbb{F}_{q} o ext{Spec }mathbb{Z}$ ，

其中第二個態射由環同態 $mathbb{Z} o mathbb{Z}/pmathbb{Z}hookrightarrow mathbb{F}_{q}$ 誘導.

設 $x$ 是 $X$ 的閉點，記 $ext{deg }x:=[kappa(x):mathbb{F}_{q}]$ ，我們將證明 $Z_{X}(T)=prod_{x}dfrac{1}{1-T^{ ext{deg }x}}$ ，這裡 $x$ 取遍 $X$ 的所有閉點. 我們知道 $X(mathbb{F}_{q^{n}})$ 的每個點是一個態射 $ext{Spec }mathbb{F}_{q^{n}} o X$ ，假設這個態射的像是 $x$ ，則它對應一個 $mathbb{F}_{q}$ -同態 $kappa(x) o mathbb{F}_{q^{n}}$ . 記 $N_{n}(x)$ 為所有不同 $mathbb{F}_{q}$ -同態 $kappa(x) o mathbb{F}_{q^{n}}$ 的個數. 則由有限域的Galois理論可知