數學概念、方法、題型、易誤點技巧總結——平面向量

　　1．向量有關概念：

（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數量的區別。向量常用有向線段來表示，注意不能說向量就是有向線段，為什麼？（向量可以平移）。

如已知A（1,2），B（4,2），則把向量

按向量

＝（－1,3）平移後得到的向量是_____（答：（3,0））

（2）零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：

，注意零向量的方向是任意的；

（3）單位向量：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量(與

共線的單位向量是

)；

（4）相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；

（5）平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量

、

叫做平行向量，記作：

∥

，規定零向量和任何向量平行。

提醒：①相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；②兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念：兩個向量平行包含兩個向量共線, 但兩條直線平行不包含兩條直線重合；③平行向量無傳遞性！（因為有

)；④三點

共線

共線；

（6）相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量。

的相反向量是－

。

如下列命題：（1）若

，則

。（2）兩個向量相等的充要條件是它們的起點相同，終點相同。（3）若

，則

是平行四邊形。（4）若

是平行四邊形，則

。（5）若

，則

。（6）若

，則

。其中正確的是_______（答：（4）（5））

2．向量的表示方法：

（1）幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如

，注意起點在前，終點在後；

（2）符號表示法：用一個小寫的英文字母來表示，如

，

，

等；

（3）坐標表示法：在平面內建立直角坐標系，以與

軸、

軸方向相同的兩個單位向量

，

為基底，則平面內的任一向量

可表示為

，稱

為向量

的坐標，

＝

叫做向量

的坐標表示。如果向量的起點在原點，那麼向量的坐標與向量的終點坐標相同。

3.平面向量的基本定理：如果e₁和e₂是同一平面內的兩個不共線向量，那麼對該平面內的任一向量a，有且只有一對實數

、

，使a=

e₁＋

e₂。比如：

（1）若

，則

______（答：

）；

（2）下列向量組中，能作為平面內所有向量基底的是

A.

　　 B.

C.

　 D.

（答：B）；

（3）已知

分別是

的邊

上的中線,且

,則

可用向量

表示為_____（答：

）；

（4）已知

中，點

在

邊上，且

，

，則

的值是___（答：0）

4．實數與向量的積：實數

與向量

的積是一個向量，記作

，它的長度和方向規定如下：

當

>0時，

的方向與

的方向相同，當

<0時，

的方向與

的方向相反，當

＝0時，

，注意：

≠0。

5．平面向量的數量積：

（1）兩個向量的夾角：對於非零向量

，

，作

，

稱為向量

，

的夾角，當

＝0時，

，

同向，當

＝

時，

，

反向，當

＝

時，

，

垂直。

（2）平面向量的數量積：如果兩個非零向量

，

，它們的夾角為

，我們把數量

叫做

與

的數量積（或內積或點積），記作：

，即

＝

。規定：零向量與任一向量的數量積是0，注意數量積是一個實數，不再是一個向量。比如：

①△ABC中，

，

，

，則

_________（答：－9）；

②已知

，

與

的夾角為

，則

等於____（答：1）；

③已知

，則

等於____（答：

）；

④已知

是兩個非零向量，且

，則

的夾角為____（答：

）

（3）

在

上的投影為

，它是一個實數，但不一定大於0。

如已知

，

，且

，則向量

在向量

上的投影為______（答：

）

（4）

的幾何意義：數量積

等於

的模

與

在

上的投影的積。

（5）向量數量積的性質：設兩個非零向量

，

，其夾角為

，則：

①

；

②當

，

同向時，

＝

，特別地，

；當

與

反向時，

＝－

；當

為銳角時，

＞0，且

不同向，

是

為銳角的必要非充分條件；當

為鈍角時，

＜0，且

不反向，

是

為鈍角的必要非充分條件；

③非零向量

，

夾角

的計算公式：

；④

。

如（1）已知

，

，如果

與

的夾角為銳角，則

的取值範圍是______（答：

或

且

）；（2）已知

的面積為

，且

，若

，則

夾角

的取值範圍是_________（答：

）；（3）已知

與

之間有關係式

，①用

表示

；②求

的最小值，並求此時

與

的夾角

的大小（答：①

；②最小值為

，

）

6．向量的運算：

（1）幾何運算：

①向量加法：利用「平行四邊形法則」進行，但「平行四邊形法則」只適用於不共線的向量，如此之外，向量加法還可利用「三角形法則」：設

，那麼向量

叫做

與

的和，即

；

②向量的減法：用「三角形法則」：設

，由減向量的終點指向被減向量的終點。注意：此處減向量與被減向量的起點相同。

如（1）化簡：①

___；②

____；③

_____（答：①

；②

；③

）；（2）若正方形

的邊長為1，

，則

＝_____（答：

）；（3）若O是

所在平面內一點，且滿足

，則

的形狀為____（答：直角三角形）；（4）若

為

的邊

的中點，

所在平面內有一點

，滿足

，設

，則

的值為___（答：2）；（5）若點

是

的外心，且

，則

的內角

為____（答：

）；

（2）坐標運算：設

，則：

① 向量的加減法運算：

，

。

如（1）已知點

，

，若

，則當

＝____時，點P在第一、三象限的角平分線上（答：

）；（2）已知

，

，則

（答：

或

）；（3）已知作用在點

的三個力

，則合力

的終點坐標是 （答：（9,1））

② 實數與向量的積：

。

③若

，則

，即一個向量的坐標等於表示這個向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標。

如設

，且

，

，則C、D的坐標分別是__________（答：

）；

④平面向量數量積：

。

如已知向量

＝（sinx，cosx）,

＝（sinx，sinx）,

＝（－1，0）。（1）若x＝

，求向量

、

的夾角；（2）若x∈

，函數

的最大值為

，求

的值（答：

或

）；

⑤向量的模：

。

如已知

均為單位向量，它們的夾角為

，那麼

＝_____（答：

）；

⑥兩點間的距離：若

，則

。比如：

如圖，在平面斜坐標系

中，

，平面上任一點P關於斜坐標系的斜坐標是這樣定義的：若

，其中

分別為與x軸、y軸同方向的單位向量，則P點斜坐標為

。（1）若點P的斜坐標為（2，－2），求P到O的距離｜PO｜；（2）求以O為圓心，1為半徑的圓在斜坐標系

中的方程。（答：（1）2；（2）

）；

7．向量的運算律：

（1）交換律：

，

，

；

(2)結合律：

，

；

（3）分配律：

，

。

如下列命題中：①

；②

；③

；④ 若

，則

或

；⑤若

則

；⑥

；⑦

；⑧

；⑨

。其中正確的是______（答：①⑥⑨）

提醒：（1）向量運算和實數運算有類似的地方也有區別：對於一個向量等式，可以移項，兩邊平方、兩邊同乘以一個實數，兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不能約去一個向量，切記兩向量不能相除(相約)；（2）向量的「乘法」不滿足結合律，即

，為什麼？

8．向量平行(共線)的充要條件：

＝0。

如(1)若向量

，當

＝_____時

與

共線且方向相同（答：2）；（2）已知

，

，

，且

，則x＝______（答：4）；（3）設

，則k＝_____時，A,B,C共線（答：－2或11）

9．向量垂直的充要條件：

.特別地

。

如(1)已知

，若

，則

（答：

）；（2）以原點O和A(4,2)為兩個頂點作等腰直角三角形OAB，

，則點B的坐標是________ （答：(1,3)或（3，－1））；（3）已知

向量

，且

，則

的坐標是________ （答：

）

10.線段的定比分點：

（1）定比分點的概念：設點P是直線P

P

上異於P

、P

的任意一點，若存在一個實數

，使

，則

叫做點P分有向線段

所成的比，P點叫做有向線段

的以定比為

的定比分點；

（2）

的符號與分點P的位置之間的關係：當P點在線段 P

P

上時

>0；當P點在線段 P

P

的延長線上時

<－1；當P點在線段P

P

的延長線上時

；若點P分有向線段

所成的比為

，則點P分有向線段

所成的比為

。

如若點

分

所成的比為

，則

分

所成的比為_______（答：

）

（3）線段的定比分點公式：設

、

，

分有向線段

所成的比為

，則

，特別地，當

＝1時，就得到線段P

P

的中點公式

。在使用定比分點的坐標公式時，應明確

，

、

的意義，即分別為分點，起點，終點的坐標。在具體計算時應根據題設條件，靈活地確定起點，分點和終點，並根據這些點確定對應的定比

。

如（1）若M（-3，-2），N（6，-1），且

，則點P的坐標為_______（答：

）；（2）已知

，直線

與線段

交於

，且

，則

等於_______（答：２或－４）

11.平移公式：如果點

按向量

平移至

，則

；曲線

按向量

平移得曲線

。

注意：（1）函數按向量平移與平常「左加右減」有何聯繫？（2）向量平移具有坐標不變性，可別忘了啊！

如（1）按向量

把

平移到

，則按向量

把點

平移到點______（答：（－８，３））；（2）函數

的圖象按向量

平移後，所得函數的解析式是

，則

＝________（答：

）

12．向量中一些常用的結論：

（1）一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運用；

（2）

，特別地，當

同向或有

；當

反向或有

；當

不共線

(這些和實數比較類似).

（3）在

中，①若

，則其重心的坐標為

。

如若⊿ABC的三邊的中點分別為（2，1）、（-3，4）、　　　（-1，-1），則⊿ABC的重心的坐標為_______（答：

）；

②

為

的重心，特別地

為

的重心；

③

為

的垂心；

④向量

所在直線過

的內心(是

的角平分線所在直線)；

⑤

的內心；

（3）若P分有向線段

所成的比為

，點

為平面內的任一點，則

，特別地

為

的中點

；

（4）向量

中三終點

共線

存在實數

使得

且

。

如平面直角坐標系中，

為坐標原點，已知兩點

,

,若點

滿足

,其中

且

,則點

的軌跡是_______（答：直線AB）
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