流變學講義 I. 緒論2

來自專欄物理討論組

I.3 流變學課程的內容

流變學不僅研究物質的形變與流動，還要關心其原因。

首先，我們需要一般性地、定量地描述形變與流動。這需要的是本構方程（constitutive equation）。

然後，我們需要解釋這些形變與流動的原因，需要的是統計物理。

當然，我們還需要實驗驗證。因此我們就需要在實驗室中對特定的材料施加特定的應力或實現特定的流動。這是流變測量學（rheometry）。

上述這三方面也可通俗稱作：怎麼描述、怎麼解釋、怎麼測量。

I.3-1 怎麼描述——物理學中的幾類方程

1. 定義方程（defining equation）

它是定義某物理量的方程，使用恆等號。例如，壓強的定義是單位面積的受力 就是一個定義方程。相比，由理想氣體狀態方程可得 就不是壓強的定義了。它只適用於理想氣體。

2. Governing equation

我不知道中文用哪個詞好，初步稱這類方程為守恆律。這些方程包括質量守恆、動量守恆和能量守恆。在流變學中它們往往表示成「流入與流出相等」的形式，表達一種空間分布的連續性，因此又經常被稱為連續性方程（continuity equation），不過習慣上「連續性方程」往往專指質量守恆的方程。

3. 本構方程（constitutive equation）

守恆律不能提供具體運動規律的解釋。本構方程就是在守恆律的基礎上增加一條規定，完善對具體物體運動規律的描述。所以實際問題需要守恆律和本構方程聯立起來求解。

本構（constitutive）一詞是強調這種關係的不變性，以及對任意流動均具有普適性。雖然「萬物皆流」（everything flows），但C. Truesdell說「Constitutive relation does not flow.」[Truesdell (1980) Plenary lecture on the 8th International Congress of Rheology]

具體地講，本構方程描述的是具有如下圖所示的關係（本構關係），即描述材料在某任意外場作用下如何產生相應的響應。其中跟材料本身特性相關的參數就叫物料函數（material function）。

例如，理想氣體狀態方程就是一個本構方程，描述一定壓強下的體積變化，其物料函數就是材料的密度。材料在電場下的極化，電場是外場，極化密度是材料的響應，物料函數是材料的極化率。在流變學中的本構關係是應力與應變的關係，物料函數就是模量或粘度。

圖1-5的結構也形成了一個系統，信號與系統課程中的靜態響應、動態響應和穩態響應的概念也適用於此；它們也是我們探討流變學本構方程行為的常用概念。這也將在今後的相關章節中體現。

I.3-2 怎麼解釋——結構流變學的研究思路

本構關係加上守恆律只是對材料流變學性質的一種描述。要繼續探討材料擁有特定本構關係的原因，就要從材料結構著手。具體到流變學，就是要討論一定流場作用下材料產生應力的微觀機制。如圖1-6所示，一定的形變場或運動學（kinematics）條件對材料的結構會有所改變。材料結構與動力學（dynamics）的關係，是需要通過微觀理論來聯繫的。至此，我們還需要一個從材料的動力學寫出應力張量的方法，從而完成一個本構關係。

在圖1-6中，除了以本構關係的建立為目標（藍色虛線框）外，還可以僅以微觀或介觀理論的建立為目標（紅色實線框），即僅去關心一定的運動學條件是如何影響材微結構和動力學的。嚴格地說這不是一個流變學目標，而是一個材料科學目標。但是由於流變學和材料科學研究的緊密聯繫，所以我們經常能在流變學的期刊和學術會議里看到這種目標的研究。從圖1-6也可以知道，對於特定材料，其本構關係的建立要依賴流場影響微觀結構的理論的先建立，因此在流變學研究要依賴材料微觀理論的發展。

I.3-3 怎麼測量——流變學測量學的角色和地位

流變學實驗的任務是為了驗證一個本構方程是否符合材料的實際流變性質。所以我們是對材料進行測試，實際得到它在特定流動下的應力應變關係，然後將其與某個本構方程的預測來比較，看後者能否符合前者。它包括如下步驟：

1. 物料函數的確定——

本構方程是旨在描述材料在任意流動下的應力的。但我們無需每種流場都測一遍來驗證。因為只要本構方程中的物料函數確定了，方程就確定了。而物料函數可以僅通過一種或若干種特定流場的測量來確定。所以，我們先假設本構方程符合該材料的流變性質，對材料進行特定測量，代入本構方程求得物料函數，從而確定該方程。

通俗地說，這一步就是：測粘度，測模量，然後模型擬合

2. 本構方程的驗證

如果這個本構方程對材料流變行為的描述是準確的，那麼我們通過實驗測定的物料函數之後，該本構方程就理應預測好該材料的其他流動。所以我們就多對材料進行幾種測試，再用剛確定好物料函數的本構方程來預測一下，看是不是都預測好了。

通俗地說，這一步就是，模型預測與實驗比較。

3. 流動問題的求解

假設通過之前的實驗，你確定某本構方程適用於對某類材料的描述，你就可以用此方程來求解該材料的實際流動問題。在最終的應用場合，我們關心的是流動行為，如擠出脹大、爬桿、彈性失穩、熔體破裂、二次流、細頸等，概括而言就是流場分布問題。這種流動問題就是要把本構方程與守恆律聯立起來求解的。而且對於實際世界的邊界條件，我們還往往不得不採用數值方法來求解。這屬於計算流體力學的領域，有很多專門的模擬方法和專用軟體。而且，預測的流場分布也要與實際觀測相比，觀測流場分布的實驗方法有粒子示蹤測數（particle tracking velocimetry，PTV）和粒子成像測速（particle imaging velocimetry，PIV）等。

通俗地說，這一步就是搞計算流體力學，預測流場分布；做PIV/PTV，觀測流場分布。

以上三步可以用下圖來表示：

一般來說，做第1、2步的是一個領域的人，做第3步的是另一個相對獨立的領域的人。通過第1、2步，我們相當於對本構方程進行了「評測」，做完了就可以發表論文了，相當於「評測報告」，我們可以比較多的在帶有rheology字眼的期刊里看到這類研究。做第3步的人，有時會參考「評測報告」有時也不參考，但總之要選擇一種本構方程來預測材料的實際流動，重點在於特定流動問題的難度和價值。我們可以比較多地在帶有fluid mechanics字眼的期刊里看到這類研究。大部分流變學教程都是面向做第1、2步的研究者的，本講義也不例外。但是，這兩個領域的人的聯繫，還是十分緊密的，所以建議讀者也要十分關注第3步的基本方法和研究成果。很多人把流變學簡單理解為「測粘度」，我們當然能諒解這一理解對大量複雜本構關係的忽略，但「粘度」不是流變學研究的終點，「流場」才是。我們天天在實驗室「測粘度」，只不過是因為我們屬於做第1、2步的人而已。只有加強與做第3步的人的溝通（包括在文獻中和在學術交流活動中），才能找到自己研究工作的落地感。

（待續）