如何想像四維歐氏空間——額外的一個維度(1)

來自專欄充個10塊錢的智商

Weve always defined ourselves by the ability to overcome the impossible.

—— Cooper, Interstellar

無論你是否相信，想像四維空間最關鍵的一個步驟是能夠想像出一根新的坐標軸。

n維歐式空間本質上就是n個互相正交的向量張成的空間。在三維空間里，我們能找到三條互相垂直的坐標軸，不妨叫x軸，y軸和z軸。在四維空間里，我們能額外找到一條與前面三條都垂直的坐標軸，不妨叫它w軸。

這不可能！你的第一反應一定是這樣的。怎麼能找到一條坐標軸同時垂直於xyz三條軸呢？如果我讓w軸垂直與x軸和y軸，它就和z軸重合了，如果讓它垂直於z軸，它又跑到x-y平面上去了。

先不著急回答這個問題，我們退回一步：想像有一個生活在二維空間的人問你，如何想像三根兩兩垂直的坐標軸？首先你會在腦海中浮現出這樣的圖像：

這個二維空間的人就問你，你看這裡明明只有x軸和y軸是垂直的，z軸和xy軸都有135度的夾角，如果z軸垂直於x軸，就和y軸重合了，怎麼可能有三條兩兩垂直的坐標軸！你該怎麼跟他解釋呢？你關於這個問題的回答同樣適用於想像四維空間的w軸。這個新的坐標軸並不是在我們已經熟悉的這個三維空間內部的，而是從這個空間「扎出去」，朝向一個全新的方向。

即使知道了這一點，想像一個全新的方向仍然很難。你需要做的就是不斷地跟你的大腦強化這個概念。

我們的大腦有一個神奇的機制，如果你不斷地重複做一件事，越來越熟練之後，你能「下意識」地完成這件事。對於空間想像能力，我們可以類比成 CPU 渲染和 GPU 渲染。當你剛剛接觸一個新的圖形甚至一個新的維度的時候，你需要去計算它的每種屬性，比如從各個角度看是什麼樣子的，類似於用 CPU 去渲染這個圖像。當你越來越熟練之後，你會很自然地想像出一個圖形長什麼樣，旋轉一下長什麼樣，點線面之間的關係如何，就好像在用 GPU 渲染圖形。

所以第一步你需要做的就是，不斷地在大腦中想像這四根兩兩垂直的坐標軸。這是最基礎的一步，但是也是最難的一步。並不需要很久，你的大腦就能接受並且想像出這四根軸。「不管你信不信，反正我是信了。」

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