線性代數的本質筆記 第三講： 矩陣與線性變換

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什麼是變換

變換本質上就是函數。

這裡的變換我們可以稱之為「向量的函數」，可以從向量運動的角度理解。變換讓向量從一個地方（對應輸入向量），運動到了另一個地方（對應輸出向量）。

變換作用於某個空間是將該變換應用於空間中的每一個向量。

空間中的向量可以用一些規則分布的點來表示。

下面是變換前的樣子

下面是變換後的樣子。

變換後，空間中的點（即向量）運動到了其他的位置上。

二維空間變換中，等間距的平行網格可以更好地展示變換的性質。

下面是變換前的網格。

下面是變換後的網格。

顯然，變換讓空間發生了扭曲。

為了方便觀察，我們還可以把變換前後的網格都畫在同一張圖上。

變換有時非常地複雜。

例如，下面的幾個例子：

如何理解線性變換

如果一個變換同時具有以下 2 條性質，則它是一個線性變換。

• 變換前後，所有的直線仍然是直線
• 變換前後，原點保持不變

換句話說，線性變換是原點不變，並使網路線保持平行且等距分布的變換。

如何描述線性變換

以平面直角坐標係為例，設有一個向量 。可以將它看成是 2 個基向量 ， 的線性組合。線性組合的係數分別對應向量的 2 個分量。

在某個線性變換的作用下， ， 以及 都運動到了新的位置。

線性變換前後網路線保持平行且等距分布，這一性質有一個重要的推論：線性變換後的 是變換後的 和 的線性組合，並且線性組合的係數和變換前一樣（仍然是 -1 和 2）

即，線性變換前

經過某個線性變換後之後

則

事實上，我們只要知道線性變換之後， ， 的位置（坐標），就可以計算出任意一個向量經過同樣的線性變換之後的位置（坐標）。

這意味著，對於一個線性變換，我們只需要跟蹤基向量在變換前後的變化，就可以掌握整個空間（即全部向量）的變化。我們將線性變換後的基向量坐標按列組合起來，可以拼接成一個矩陣。線性變換的全部信息便都包含在這個矩陣當中了。

給定一個 2×2 的矩陣 以及某個向量

它的 2 列 和 分別表示 2 個基向量 和 經過線性變換之後的坐標。

那麼，向量 經過該線性變換之後，其新坐標的計算方法如下：

這一計算過程，我們可以用矩陣乘法來表達。將向量 記作 ，將整個矩陣記作 ，將線性變換後的向量記作 ，整個等式是不是變成了大家熟悉的 。你可以把它看成是矩陣和向量相乘，也可以把它看成是一個線性方程組，現在你還可以把它看成是一個線性變換。多麼奇妙的一件事啊！

一旦你理解的本節教程的精髓，你便可以秒懂原來看起來十分費解的線性變換。

例如，逆時針旋轉 90 度對應的線性變換矩陣是什麼呢？

記住，對於線性變換，我們只需要跟蹤原來的基向量在線性變換後的位置（坐標），然後把它們按列拼成一個矩陣，這個矩陣就是相應的線性變換矩陣。

在這個例子中，原來的 2 個基向量 和 ，逆時針旋轉90 度之後，變成了 和 ，把它們拼成 一個矩陣 ，這便是逆時針旋轉 90 度對應的線性變換矩陣。要計算任意向量旋轉 90 度之後的坐標，只需要用該矩陣左乘原來的向量就可以了。

下面是一個剪切變換，你能一眼就看出它在做什麼嗎？

我們再來看下面這個線性變換，其線性變換矩陣的 2 個列向量是線性相關的。這個線性變換會將整個二維空間壓縮到一條直線上。通過這個例子，你是不是對線性相關、線性無關有了更直觀的、更深刻的認識了呢？

總之，線性變換是操縱空間的一種手段。線性變換保持原點不動，網格線平行且等距分布。只需要幾個數字（變換後基向量的坐標）就可以清晰地描述一個線性變換。將變換後基向量的坐標按列拼接成一個矩陣。這個矩陣為我們提供了一種描述線性變換的語言。線性變換作用於一個向量，對應於用線性變換矩陣左乘該向量。

以後，當你再看到矩陣的時候，你都可以將它解讀為對空間的某種線性變換，這是深刻理解矩陣乘法、行列式、基變換，以及特徵值等概念的重要基礎。掌握了本節（從線性變換的角度）看待矩陣的方式，線性代數中，原本極其抽象的概念，都將瞬間變得清晰起來。線性代數中各種看似莫名其妙的運算，以及各種神出鬼沒的概念，一下子都變得可愛起來了。

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