分析之[R-S 積分](1)

07-12

分析之[R-S 積分](1)

來自專欄數學僧的青春

計劃 R-S 積分這一節主要談及一元函數的 Reimann-Stieltjes 積分的定義、性質, 以及一些基本的計算規則; 有界變差函數. 最後作為積分和巴拿赫不動點定理的一個應用, 導出常微分方程中的 Picard-Lindelof 定理(局部上解的存在及唯一性).

最近很忙, 姍姍來遲的更新, 這次內容不多, 主要都是一些概念性的東西. 算是[R-S 積分]第(1)部分吧.

積分, 最早是為了求解(不規則的)形狀的「面積」而創造出來的.從古希臘阿基米德切片求球體積, 到中國古代「祖暅原理」都已經出現了積分的樸素思想.

如果大家會玩 Minecraft 這個遊戲, 對這樣一個簡單而精巧的想法應該也有所體會: 任何現實生活中的形狀, 都可以通過一系列的長方體(形)的組合近似(逼近). 以直代曲, 以規則替代不規則, 一個函數圖像與坐標軸圍成的面積, 可以通過分割近似為一系列長方形的和來得到. 這裡將從最簡單的一元函數積分開始, 來介紹積分理論. 而更嚴格,更靈活的積分理論, 則需要用「測度」的概念, 這留待以後再談.

積分的定義

Reimann 積分

將樸素的「積分思想」嚴格成積分, 我們先給出以下一些定義:

我們稱 $au:=(x_0,x_1,cdots,x_n)$ 為區間 $I:=[a,b]$ 的一個分割, 若

$a=x_0<x_1<cdots<x_n=b,~~nin mathbb{N}_+.$
若 $au$ 是另一個分割 $au$ 的子集, 則稱 $au$ 為分割 $au$ 的加細, 記為 $augeqslant au$ .

下面是黎曼和的定義

[黎曼和]
$f$ 為定義在 $I:=[a,b]$ 上的實函數. 設 $au:=(x_0,x_1,cdots,x_n)$ 是區間 $I$ 的一個分割, 記 $Delta x_i =x_i-x_{i-1}$ , 並設 $lVert au Vert:=max_{1leqslant ileqslant n}{Delta x_i}$ , 對任意 $xi_iin[x_{i-1},x_i]$ , 我們稱
$sum_{i=1}^{n}f(xi_i)Delta x_i$

為 $f$ 在 $I$ 上的一個 Reimann 和.

黎曼和的幾何意義是明顯的: 當分割加細,生成的一系列長方形的和也越來也接近於一個函數圖像與坐標軸圍成的面積.下面給出積分的具體定義.

設 $f$ 為定義在 $I$ 上的實函數, 若存在實數 $A$ , 滿足 $forall varepsilon>0$ , $exists delta>0$ , 對於任意的分割 $au$ $lVert au Vert<delta$ , 有
$left|sum_{i=1}^{n}f(xi_i)Delta x_i - A ight|<varepsilon,~~forallxi_iin[x_{i-1},x_i], i=1,cdots,n,$
就稱函數 $f$ 在 $I$ 上 Reimann可積, 用 $fin mathscr{R}$ 表示. 同時 $A$ 稱為 $f$ 在 $I$ 上的定積分, 記為:
$int_{a}^{b}f(x)dx=lim_{lVert au Vert ightarrow 0}sum_{i=1}^{n}f(xi_i)Delta x_i.$

$f$ 稱為被積函數, $I$ 稱為積分區間.

容易證明,在區間 $I$ 上可積的函數, 必然在 $I$ 上有界. 但是有界函數未必可積. 數學家達布(Darboux) 給出了有界函數黎曼可積的充分必要條件, 這也是我們之後常用的積分的另一種等價定義.(下面參考Rudin書上的符號來)

[黎曼積分的達布定義(充要條件)]
設 $f$ 為定義在 $I$ 上的有界實函數, 對應於 $I$ 的任意分割 $au$ ,令
$M_i = sup_{x_{i-1}leqslant xleqslant x_i}f(x),quad m_i = inf_{x_{i-1}leqslant xleqslant x_i}f(x),$

稱 $U( au, f)=sum_{i=1}^{n}M_iDelta x_i$
為 $f$ 關於 $au$ 的 Darboux 上和;
$L( au, f)=sum_{i=1}^{n}m_iDelta x_i$ 為 $f$ 關於 $au$ 的 Darboux 下和.\
記
$overline{int_{a}^{b}}f(x)dx=inf{U( au, f)},\ underline{int_{a}^{b}}f(x)dx=sup{L( au, f)},$
以上式子中, 上下確界是對所有分割而取的, 左邊兩式分別稱為 $f$ 在 $I$ 上的上積分和下積分.函數 $f$ 在 $I$ 上 Reimann可積,當且僅當上積分與下積分相等.

在上述定理中,涉及到Darboux 上和與Darboux 下和概念, 它們有一些性質值得注意(利用定義容易證明):

對於任意分割 $au$ , 恆有 $L( au, f)leqslant U( au, f)$ ;
若有 $augeqslant au$ , 則上和不增, 下和不減.
對於任意兩個分割 $au_1, au_2$ , 恆有 $L( au_1, f)leqslant U( au_2, f)$ ;
$sup{L( au, f)}leqslantinf{U( au, f)}$ , 即下積分不超過上積分.

接下來, 將黎曼積分稍微推廣一下, 我們來考慮更一般的情況.

Reimann-Stieltjes 積分

1894年,數學家Stieltjes研究連分數時, 將黎曼積分推廣, 引入了Reimann-Stieljes積分. 利用這個積分可以將關於連續型和離散型概率分布函數的統計學理論化為統一的形式, 是概率論和金融數學等領域的重要工具.

[R-S積分]
設 $alpha$ 為 $[a,b]$ 上的一個單調遞增函數, $f$ 為 $[a,b]$ 上的有界函數. 對應於 $[a,b]$ 的任意分割 $au:=(x_0,x_1,cdots,x_n)$ , 記
$M_i = sup_{x_{i-1}leqslant xleqslant x_i}f(x),\ m_i = inf_{x_{i-1}leqslant xleqslant x_i}f(x),\ Deltaalpha_i=alpha(x_i)-alpha(x_{i-1}),$
定義 $f$ 關於 $alpha$ 和 $au$ 的 Darboux 上和與下和
$U( au, f,alpha)=sum_{i=1}^{n}M_iDelta alpha_i;\U( au, f,alpha)=sum_{i=1}^{n}m_iDelta alpha_i,$
類似的,記
$overline{int_{a}^{b}}fdalpha=inf{U( au, f,alpha)},\ underline{int_{a}^{b}}fdalpha=sup{L( au, f,alpha)},$
它們分別稱為 $f$ 關於 $alpha$ 的上積分和下積分. 若上下積分相等, 則稱 $f$ 關於 $alpha$ 是Reimann-Stieltjes可積的,記為 $fin mathscr{R}(alpha)$ . 可簡稱R-S可積.