華人數學家——張益唐在終極數論上取得重大突破

本報記者 文敏 2013年5月23日 來源：浙江日報

　　一位獨自沉默幾十年的華人數學家，一夜成名。科學版記者們抓狂地上網搜尋「張益唐」這個陌生的名字，北京大學官網發布消息：他1978年進入該校數學科學學院攻讀本科，1982年讀碩。很多任教於名校數學系的教授更在一點一滴「拼湊」有關他的信息，編織一個新的學術傳奇：張益唐最新的證明如果被認為正確，那麼他的「成就堪比陳景潤」；但此前，他在美國長期沉寂，只是一名不起眼的講師，公開發表的論文只有兩篇。

　　但現在，全世界都知道他的名字了——起碼數學界。《自然》雜誌網站5月14日報道，任教於美國新罕布希爾大學的張益唐最新證明，存在無窮多個之差小於7000萬的素數對。在解決孿生素數猜想方面，張益唐的這一研究被認為在終極數論這個古老的數學問題上取得了重大突破。

　　孿生素數猜想之路

　　張益唐的一小步是數學進展的一大步（雖然目前來說還有一些「如果」）。素數是數學中美妙的音樂，美麗的女神，有著很多讓人捉摸不透的秘密。大數學家歐拉說過：「一直以來，數學家總是在孜孜不倦地尋找素數規律，但是很難成功。我們可以把素數看作人類思維無法滲透的奧秘。」

　　素數，是指只含有兩個因子的自然數(即只能被自身和1整除)。孿生素數，是指差為2的素數對。前幾個孿生素數是分別是（3，5），（5，7），（11，13），（17，19），（29，31），（41，43），（59，61）等。一般來說，如果p和p+2都是素數，則（p,p+2)就叫做孿生素數。100以內有8個孿生素數；501到600間只有（521，523）和（569，571）兩對。更大的孿生素數還有，如（5971847，5971849）。不過，可以觀察到孿生素數的分布也是極不均勻的，並且也是越來越稀疏，與素數相比，還要稀疏得多。

　　這樣問題就來了：孿生素數的分布規律是什麼？共有多少對孿生素數？或者說有沒有一個最大的孿生素數？人們於是又開始猜想：有無數對孿生素數。但沒有人確切地知道究竟有多少對。大數學家大衛·希爾伯特在1900年國際數學家大會上提了著名的23個重要數學難題和猜想，其中孿生素數問題是希爾伯特問題的第8個的一部分，可以這樣描述：存在無窮多個素數p，使得p與p+2同為素數；而素數對(p,p+2)稱為孿生素數。數學家們相信這個猜想是成立的。比這更早的1849年，法國數學家波利尼亞克提出了更一般的猜想：對所有自然數k，存在無窮多個素數對(p,p+2k)；其中k=1的情況就是孿生素數猜想。

　　根據《自然》雜誌網站的報道，在解決孿生素數猜想方面，此前的一個學術里程碑出現在2005年，其時，美著名解析數論專家、聖何塞州立大學教授唐·戈德斯通和他的兩位同事提出，存在無窮多個之差小於16的素數對。但這個推論，還沒有人知道該如何證明。張益唐的最新研究，在不依賴未經證明推論的前提下，發現存在無窮多個之差小於7000萬的素數對。如果這個結果成立，就是第一次有人正式證明存在無窮多組間距小於定值的素數對。雖然7000萬這個數字很大，離孿生素數猜想給出的2還有距離，但是即使這個數小得沒有辦法表示，也是從無到有的突破，更何況現在進展是2/70000000。如果把2到無窮定義為猜想證明的全程，那麼張益唐已經走到和終點距離只有無窮小的位置了。

　　相比之前人們給不出任何一個正數，張益唐的結果是數論發展的一個重大突破。5月13日，張益唐在美國哈佛大學發表主題演講，介紹了他的研究進展。如果張益唐的結果為正確的，那無疑是世界數學界的一大進展，其結果影響力甚至可能超過陳景潤在哥德巴赫猜想方面所做的工作。張益唐在北大的研究生導師、著名數學家潘承彪聽聞這一消息後「十分高興」，他隨即給浙大數學教授蔡天新發信並附上審稿人、美國科學院院士IWANICE的評價：證明無誤、非常漂亮，相信不久會有很多人把「7000萬」這個數字「變小」。

　　到底在「猜想」什麼？

　　很多數學猜想都是「世紀大難題」，和至今尚未有解的黎曼猜想、哥德巴赫猜想一樣，孿生素數猜想也是著名的數學猜想。所謂猜想，就是你能夠提出問題，也能夠給出答案，但卻無法完成推導論證過程。一旦提出了猜想，又完成了推導過程，有確信的答案，那麼就稱為定理。數學猜想是推動數學理論發展的強大動力。數學猜想是數學發展中最活躍、最主動、最積極的因素之一，是人類理性中最富有創造性的部分。數學猜想能夠強烈地吸引數學家全身心投入，積極開展相關研究，從而強力推動數學發展。數學猜想一旦被證實，就將轉化為定理，匯入數學理論體系之中，從而豐富了數學理論。

　　在希爾伯特1900年提出的23個挑戰性的問題中，哥德巴赫猜想是第8個問題的一個子問題，這個問題還包含了黎曼猜想和孿生素數猜想。現代數學界中普遍認為最有價值的是廣義黎曼猜想，若黎曼猜想能夠成立，很多問題就都有了答案。2000年5月，美國克雷數學研究所在還未解決的數學難題中選出了七個最重大的，稱為「七大世紀數學猜想」，並為每道題懸賞百萬美元求解。目前的現狀是：龐加萊猜想：已經破解。黎曼假設：世界上許多頂尖腦瓜子在為此攻關，154年過去了，進展仍然是零。霍奇猜想：進展不大。楊·米爾理論：太難，幾乎沒人做。P/NP問題：沒什麼進展。波奇和斯溫納頓戴雅猜想：有希望破解。納威厄-斯托克斯方程：離解決相差很遠。

　　雖然孿生素數猜想沒有被列入七大之內，但在數論里，這一猜想的地位不亞於費馬大定理。

　　數學猜想屬於純數學，在世界著名的數學家看來，純數學才是真正的數學，就像繪畫和詩歌。數學猜想究竟有什麼用？這問題不僅在當下，在古代西方國家，也曾經倍受質疑。一個著名的傳說，歐幾里德在講課，有學生站起來問他，「學幾何有什麼用？」歐幾里德沉默片刻對自己的僕人說：「請給這位先生3塊金幣，看來沒有錢他是不願學習的。」後來的故事廣為人知，如果沒有歐氏幾何，微積分不可能誕生，現代科學也就無從發展。

　　實際上，世界級數學猜想，即便是著名的費馬大定理，科學家尚未發現實用之處。大多數時候，數學猜想只是一種思想的工具。那些重大的數學猜想產生的原因，一是因為數學發展內部的矛盾所需要解決的問題，二是外部原因需要數學解決問題所產生的猜想。但它們也並非只是幾個世界絕頂聰明的腦瓜子的自娛自樂，終有一日，純數學的價值會在現實中體現出來。

　　非歐幾何的創始人之一、俄國數學家羅巴切夫斯基曾經說過：「沒有哪個數學分支有一天會不被用於解決現實世界的問題，不管它是多麼抽象。」在當時非歐幾何還只是抽象的數學遊戲，後來卻被愛因斯坦用在了廣義相對論，羅巴切夫斯基的預言至少在他開創的領域應驗了。類似的例子舉不勝舉。當初純之又純的數論，在密碼學中獲得應用；歐氏幾何在2000年前備受質疑，認為歐氏幾何的作用就是丈量土地。也正因此，數學界認為，純數學研究在此時此刻無用，但是50年、100年後，誰也無法預測它的作用。基礎學科的核心優越感也正在這裡——很多時候，技術應用不過是它的副產品而已。

　　孤獨的數學家

　　「人的首要責任就是要有雄心。在拿破崙的雄心中有某些高貴的因素，但是最高貴的雄心，就是要在死後留下具有永久價值的東西。」哈代在《一個數學家的自白》中這樣說道。

　　張益唐的雄心看來也很不小，他的故事這幾天在很多媒體上開始流傳，但在2013年5月10日以前，知道他名字的人可能屈指可數。知道他行蹤的也沒有幾個。為了潛心研究數學，他幾乎與世隔絕，在美國的偏遠省份蜇伏。2000年初，他的妹妹曾在網上發尋人啟事，哥哥張益唐失去聯繫了。當時在賓州州立大學當教授的老同學給他妹妹回了電郵，表示他哥哥健康地活著，在鑽研數學呢。

　　《人民文學》雜誌1978年第1期上，作家徐遲的報告文學《哥德巴赫猜想》，一時間讓陳景潤和哥德巴赫猜想變得家喻戶曉。而張益唐正是北大數學系文革10年後首次招收的本科生。像那個時代很多有志青年一樣，張益唐也是被徐遲的文章、被陳景潤的故事、被哥德巴赫猜想引導到數學系，以致終身投入到數學中去。

　　同學們對張益唐的評價是「願意鑽大問題」，對別的事情不太在乎。不在乎到什麼程度呢？據他的北大同學說，張益唐畢業後基本隱居，很少和人來往；他和同學們的聯繫方式之一就是同學生日時電郵一個生日問候。那時他的一些同學已經在美國大學裡拿到助理教授、副教授甚至正教授的位置，而張益唐卻在一面繼續做數學，一面為糊口而奔忙。畢業後的前六七年他干過很多雜活，包括臨時會計、餐館幫手、送外賣。後來在美國新罕布希爾大學一直做講師到現在。美國的「講師」說白了就是臨時教學職位，收入比起同資歷教授（包括助理教授）差很多。從科研上來說，則是完全得不到任何支持。這意味著，張益唐的科研時間「很難得到保證」。但他就在這種現實中成就了自己的數學夢想。

　　美國《新科學家》刊於5月13日的文章談了張益唐的貢獻。文章的開頭頗有文學味：「聽說過小說《素數之戀》、《質數的孤獨》什麼的，不過我從沒看過。作者總想著素數談戀愛還是想說研究者喜歡質數？不過，人們發現素數已經變得更加不孤獨了！」

　　質數就是素數，孿生素數的兩個數字之間隔著無窮盡的小數，努力與成功之間也是一樣。當11對自己的孿生素數13說：我要去你那裡。13說，你來吧，但你要越過的不僅僅是12。