代數式求最值：尋找幾何意義

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代數式求最值：尋找幾何意義

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（2018·長郡聯考理數）已知函數 $f(x)=ax-a^2-4(a>0,xin R)$ ，若 $p^2+q^2=8$ ，求 $frac{f(q)}{f(p)}$ 的取值範圍.

解： $frac{f(q)}{f(p)}=frac{aq-a^2-4}{ap-a^2-4}$ ，

顯然在這裡我們看不出 $a$ 與 $p,q$ 之間的關係，由於 $a>0$ ，所以我們同時除以 $a$ .

原式 $=frac{q-a-frac4a}{p-a-frac4a}=frac{q-(a+frac4a)}{p-(a+frac4a)}$ .

很明顯，這是點 $(p,q)$ 到點 $(a+frac4a,a+frac4a)$ 的斜率.

又因為 $a+frac{4}{a}≥4(a>0)$ ，

所以點 $(a+frac4a,a+frac4a)$ 所構成的集合為 $left{ (x,y)|y=x,x≥4,y≥4 ight}$ .

很顯然，直線和圓求斜率最值，馬上想到相切的情況.

於是斜率 $k$ 可求.

易得，原式的取值範圍是 $[2-sqrt3,2+sqrt3]$ .

思考為什麼在這裡相切的時候一定就是最大/最小值？想想看.

desmos

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PS：最近在設計專欄的形象，以後就不放戀與的海報當頭圖了，有點尷尬= =