立方和&立方差公式在升大試中的影子

07-16

立方和&立方差公式在升大試中的影子

4 人贊了文章相關公式為： $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) \ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

今天我們有提到，已知 $a^{frac{1}{2} }+a^{-frac{1}{2} }=3$ ，求 $frac{a^{frac{3}{2} }-a^{-frac{3}{2} }}{a^{frac{1}{2} }-a^{-frac{1}{2} }}$ 的值。

做數學題前一定要適當觀察，一般來說已知都不是平白無故、毫無聯繫給出的。一看分子就是立方差，再聯繫分母。。。喂，提醒要你因式分解的暗示要不要這麼赤裸裸，分子用立方差公式分解，不就馬上把分母約去了嗎。。。因此你會看到這樣的結果

$frac{a^{frac{3}{2} }-a^{-frac{3}{2} }}{a^{frac{1}{2} }-a^{-frac{1}{2} }} =frac{(a^{frac{1}{2} }-a^{-frac{1}{2} })(a+1+a^{-1})}{a^{frac{1}{2} }-a^{-frac{1}{2} }} =a+a^{-1}+1$

然而根據已知， $a^{frac{1}{2} }+a^{-frac{1}{2} }=3$ ，再求 $a+a^{-1 }$ 實在太容易了。

兩邊平方 $(a^{frac{1}{2} }+a^{-frac{1}{2} })^2=9Rightarrow a+2+a^{-1}=9Rightarrow a+a^{-1}=7$ ，所以

$frac{a^{frac{3}{2} }-a^{-frac{3}{2} }}{a^{frac{1}{2} }-a^{-frac{1}{2} }} =a+a^{-1}+1=7+1=8$

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啟示：立方和&差公式當然要記得，但是也要知道技巧 $x^{frac{1}{2}}+x^{-frac{1}{2}}=kRightarrow x+x^{-1}\sqrt{x}+frac{1}{sqrt{x}}=kRightarrow (x+frac{1}{x})$ 。

今天有道功課，已知 $sqrt{x}+frac{1}{sqrt{x}}=a$ ，求 $frac{x^2+1}{x}$ 的值。

在我看來就是用上面這個平方的技巧。很明顯 $frac{x^2+1}{x}=x+frac{1}{x}$ ，

知道 $sqrt{x}+frac{1}{sqrt{x}}=a$ ，平方一下就可求 $frac{x^2+1}{x}=x+frac{1}{x}$ 了。為什麼沒直接給出 $x+frac{1}{x}$ ，而是給出他們通分形式 $frac{x^2+1}{x}$ 同學就覺得難了這麼多呢，看來是我沒調教好大家呀。。。

來來來，做兩道練習壓壓驚：

1.已知 $x+frac{1}{x}=3$ ,求 $x^2+frac{1}{x^2}$ 的值 (當然我也可以這樣問：求 $frac{x^4+1}{x^2}$ 的值)

2.已知 $sqrt{x}+frac{1}{sqrt{x}}=3$ ，求 $x+frac{1}{x}$ (或 $frac{x^2+1}{x}$ )的值， $x^2+frac{1}{x^2}$ (或 $frac{x^4+1}{x^2}$ )的值

3.已知 $x+frac{1}{x}=3$ ，求 $x^3+frac{1}{x^3}$ 的值。注意：也可以寫成求 $frac{x^6+1}{x^3}$ 的值

4.已知 $x-frac{1}{x}=3$ ，求 $x^3-frac{1}{x^3}$ 的值。注意：也可以寫成求 $frac{x^6-1}{x^3}$ 的值