高等代數筆記整理（五）

07-18

高等代數筆記整理（五）

來自專欄我的數學臆想20 人贊了文章

大家好！

新的一周，這學期快接近尾聲了，各種期末考試也開始輪流壓過來，加上隨著筆記的逐步展開，我們的探討也變得更加深入了，所以相對之前更新確實慢了些，但是我會盡量保持速度，不然自己怕又是要找到借口偷懶了，有點壓力山大的感覺。

另外，由於之前自己的理解偏差，導致筆記邏輯大綱需要重新編排，這才耽擱了一周的時間（好吧我承認是我偷懶=_=！）

好了，廢話就說到這裡，下面我們開始今天的內容。

引言

之前我們花了兩篇的篇幅講了如何求解線性方程組，但是別忘了，他只是一個小插曲，我們在宏觀上還是以研究線性空間為主線的。

所以，再往前倒，我們研究線性空間的基就是從「細胞核」的角度來刻畫線性空間，從而在一定程度上明晰了它的結構。

今天我們將從另一個角度——劃分來研究線性空間。

首先先簡單說明一下我們的思路，要知道，一個集合（線性空間可看作是一個附有兩個運算的集合滿足一定的運演算法則）是一個大整體，如果把它像一個蛋糕一樣咔咔咔切成很多塊會怎麼樣呢？

在線性空間可分割為的眾多類型的「塊」中我們最為熟悉也最具有代表意義的就是子空間了，所以我們今天將把主要的力氣用在把一個線性空間（蛋糕）切成眾多個子空間（塊）。

研究切分是不容易的，但是我們可以從它的反方向（和）入手，於是我們先給來出子空間和的概念。

子空間的和與直和

Def：對於兩個 $V$ 的子空間 $V_1,V_2$ ， $V_1+V_2 riangleq left{ alpha_1+alpha_2 | alpha_1 in V_1,alpha_2 in V_2 ight}$ ，稱為子空間 $V_1,V_2$ 的和。

下面給出和的幾個性質

Prop

1.結合律： $(V_1+V_2)+V_3=V_1+(V_2+V_3)$

2.交換律： $V_1+V_2=V_2+V_1$

3.兩個子空間的和仍為一個子空間

Corollary：任意多個子空間的和仍為子空間

4. $<alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_s>+<eta_1,eta_2,cdots,eta_t>$

$=<alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_s,eta_1,eta_2,cdots,eta_t>$ （這個性質尤為重要）

5. $V=W_1+W+cdots+W_s$

其中， $W_1,W_2,cdots,W_s$ 的基並起來是 $V$ 的一個基

以上的定理都可以由子空間和的定義立即得到，這裡作為練習留給大家。

實際上兩個子空間的和為 $V$ 就可以間接說明 $V$ 可以分為兩個（或者多個）子空間了。

例如在上面的性質4中，如果

$<alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_s>,<eta_1,eta_2,cdots,eta_t>$

都是 $V$ 的子空間，且 $alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_s,eta_1,eta_2,cdots,eta_t$ 中包含 $V$ 的某個基 $delta_1,delta_2,cdots,delta_n$ ，那麼就有

$V=<alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_s>+<eta_1,eta_2,cdots,eta_t>$

當然，我們還可以按照同樣的方法將它分為多個子空間，這裡就不再贅述了。

實際上，我們在這裡的拆分（或是和）是粗略的，為了更加準確地了解這個和之間的結果，我們引入維數公式。

Dimensional Formular

$dim(W_1+W_2)=dimW_1+dimW_2-dim(W_1 cap W_2)$ ,其中 $W_1,W_2$ 均為線性空間 $V$ 的子空間。

proof：取 $W_1 cap W_2$ 的一個基 $alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_m$ ,將其分別擴充為 $W_1,W_2$ 的一個基：

$alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_m,eta_1,cdots,eta_{n_1-m}$

$alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_m,gamma_1,cdots,gamma_{n_2-m}$

則 $W_1+W_2=<alpha_1cdots,alpha_m,eta_1,cdots,eta_{n_1-m},gamma_1,cdots,gamma_{n_2-m}>$

下面證明向量組 $alpha_1cdots,alpha_m,eta_1,cdots,eta_{n_1-m},gamma_1,cdots,gamma_{n_2-m}$ 線性無關。

令 $k_1alpha_1+cdots+k_malpha_m+p_1eta_1+cdots+p_{n_1-m}eta_{n_1-m}$ $+q_1gamma_1+cdots+q_{n_2-m}gamma_{n_2-m}=0 ag{*}$

則有 $q_1gamma_1+cdots+q_{n_2-m}gamma_{n_2-m}=$ $-k_1alpha_1-cdots-k_malpha_m-p_1eta_1-cdots-p_{n_1-m}eta_{n_1-m}$

注意，等號左邊的項屬於 $W_2$ ，等號右邊的項屬於 $W_1$

記 $delta=q_1gamma_1+cdots+q_{n_2-m}gamma_{n_2-m}$ ，則 $delta in W_1 cap W_2$

於是有 $delta=t_1alpha_1+cdots+t_malpha_m$

於是 $q_1gamma_1+cdots+q_{n_2-m}gamma_{n_2-m}=t_1alpha_1+cdots+t_malpha_m$

即 $t_1alpha_1+cdots+t_malpha_m-q_1gamma_1-cdots-q_{n_2-m}gamma_{n_2-m}=0$

又因為 $alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_m,gamma_1,cdots,gamma_{n_2-m}$ 線性無關，所以 $t_1=cdots=t_m=q_1=cdots=q_{n_2-m}=0$

將它回帶到 $(*)$ ，我們就有 $k_1alpha_1+cdots+k_malpha_m+p_1eta_1+cdots+p_{n_1-m}eta_{n_1-m}=0$

又因為 $alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_m,eta_1,cdots,eta_{n_1-m}$ 線性無關，所以

$k_1=cdots=k_m=p_1=cdots+p_{n_1-m}=0$

這就證明了向量組 $alpha_1cdots,alpha_m,eta_1,cdots,eta_{n_1-m},gamma_1,cdots,gamma_{n_2-m}$ 線性無關。

於是向量組 $alpha_1cdots,alpha_m,eta_1,cdots,eta_{n_1-m},gamma_1,cdots,gamma_{n_2-m}$ 是 $W_1+W_2$ 的一個基，故

$dim(W_1+W_2)=dimW_1+dimW_2-dim(W_1 cap W_2)$

這個證明有些繁瑣，但是結論卻是相當簡潔並且很有用的。

以上，我們探討了子空間和的一些性質，下面我們將繼續探討它的一種特殊情況——直和。

我們實際上已經看到了，上面的這種劃分是「可相交的」。

我們知道，除了子空間共有的零向量外，只要它們有一個公共的向量，那麼這兩個子空間的交（子空間的交就是它們所帶的集合的交）就有無數多個向量（因為 $alpha in V_1 Rightarrow forall k in K ,kalpha in V_1$ ，這裡的 $K$ 是子空間 $V_1$ 所在的域）。

所以我們這裡就想引入一類特殊的和，即兩個交集只含零向量的子空間的和，以達到簡化拆分線性空間的效果，我們把它稱為直和（direct sum），下面給出它的定義。

Def：對於兩個 $V$ 的子空間 $V_1,V_2$ ，如果 $V_1 cap V_2=left{ 0 ight}$ ，那麼就稱 $V_1+V_2$ 為直和，記作 $V_1 oplus V_2$ 。

顯然有如下性質：

如果線性空間 $V$ 的維數為n，且 $alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n$ 為 $V$ 的一個基，那麼

Prop

1. $V=langle alpha_1 angle oplus langle alpha_2 angle oplus cdots oplus langle alpha_n angle$

2. $V=W_1 oplus W_2 oplus cdots oplus W_s$ （顯然，直和作為一種特殊的和也滿足結合律與交換律）

其中， $W_1,W_2,cdots,W_s$ 的基並起來是 $V$ 的一個基，且 $W_1,W_2,cdots,W_s$ 兩兩的交集只有零向量。

由於這裡的性質可以直接由子空間和的性質得出，故此處證明略去。

這就將一個大蛋糕（線性空間）切成若干個小塊了。

注意，為什麼說成是切蛋糕，正是因為被分成的子空間們總有一個共同的向量也就是零向量（當然作為直和也只有零向量）。

下面我們給出兩子空間的和為直和的等價條件，用來判定兩子空間的和為直和：

Prop下面的命題等價

1. $W_1+W_2$ 為直和

2. $forall alpha=alpha_1+alpha_2 in W_1+W_2,alpha_1 in W_1,alpha_2 in W_2$ ，且表法唯一（大部分教材中這個才是直和的定義）

現在證明 $1 Rightarrow 2$ 成立

proof：

設 $W_1 cap W_2=left{ 0 ight}$ ，任取 $alpha in W_1+W_2$ ，假設

$alpha=alpha_1+alpha_2,alpha_1 in W_1,alpha_2 in W_2$

$alpha=eta_1+eta_2,eta_1 in W_1,eta_2 in W_2$

於是 $alpha_1+alpha_2=eta_1+eta_2$

這就有 $alpha_1-eta_1=eta_2-alpha_2 in W_1 cap W_2=left{0 ight}$

於是 $alpha_1=eta_1,alpha_2=eta_2$

這就證明了 $1 Rightarrow 2$ 成立

3. $W_1+W_2$ 中 $0$ 的表法唯一

proof：顯然， $2 Rightarrow 3$ 成立。

現在證明 $3 Rightarrow 1$ 成立，我們用反證法

假設存在 $alpha e 0,alpha in W_1 cap W_2$

顯然 $alpha=alpha+0(alpha in W_1,0 in W_2)$ , $alpha=0+alpha(0 in W_1,alpha in W_2)$

這與 $W_1+W_2$ 中 $0$ 的表法唯一矛盾，於是 $W_1 cap W_2=left{ 0 ight}$ 。

這就證明了1，2，3是等價的，下面我們再增添兩個等價條件。

4. $dim(W_1+W_2)=dimW_1+dimW_2$

proof： $1 Leftrightarrow 4$

充分性是顯然的，因為由維數公式，我們知道

$dim(W_1+W_2)=dimW_1+dimW_2-dim(W_1 cap W_2)$

而當 $W_1 oplus W_2$ 時， $W_1 cap W_2=left{ 0 ight}$ ，也就是說 $dim(W_1 cap W_2)=0$

這就有了 $dim(W_1+W_2)=dimW_1+dimW_2$ 。

另外，如果 $dim(W_1+W_2)=dimW_1+dimW_2$ ，也就有 $dim(W_1 cap W_2)=0$ ，於是 $W_1 cap W_2=left{ 0 ight}$ ，這就證明了必要性。

5.若 $gamma_1,gamma_2,cdots,gamma_s$ 與 $delta_1,delta_2,cdots,delta_t$ 分別為 $W_1,W_2$ 的基，則 $gamma_1,gamma_2,cdots,gamma_s,delta_1,delta_2,cdots,delta_t$ 是 $W_1+W_2$ 的一個基。

proof：這裡只需證明 $5 Leftrightarrow 4$ 即可。

充分性是顯然的，所以我們只需要證明必要性。

設 $gamma_1,gamma_2,cdots,gamma_s$ 與 $delta_1,delta_2,cdots,delta_t$ 分別為 $W_1,W_2$ 的基，則

$W_1+W_2=<gamma_1,gamma_2,cdots,gamma_s,delta_1,delta_2,cdots,delta_t>$

因為 $dim(W_1+W_2)=dimW_1+dimW_2=s+t$

所以 $gamma_1,gamma_2,cdots,gamma_s,delta_1,delta_2,cdots,delta_t$ 就是 $W_1+W_2$ 的一個基。

於是必要性成立。

看起來我們已經完成了切分線性空間的工作了，但是這裡的子空間是可以進一步簡化的，即用另一種更簡單或者相對統一的方式來表示這些拆分出來的子空間。

為此我們需要引入陪集的概念。

我們將在下一篇筆記中詳細探討陪集以及使用它而不是簡單的基的重組所形成的切分的好處。

我們這裡先給出一些概念作為預備。

笛卡爾積(Cartesian product)

在數學中，兩個集合 $X$ 和 $Y$ 的笛卡爾積，又稱直積，表示為 $X imes Y$ ，是其第一個對象是 $X$ 的成員與第二個對象是 $Y$ 的一個成員的所有可能組成的有序對。

假設集合A={a,b}，集合B={0,1,2}，則兩個集合的笛卡爾積 $A imes B=$ {(a,0),(a,1),(a,2),(b,0),(b,1), (b,2)}。

二元關係（Binary Relation）

Def：設 $S$ 是一個非空集合，我們把 $S imes S$ 的一個子集 $W$ 叫做 $S$ 上的一個二元關係。如果 $(a,b)in W$ ，就稱 $a$ 和 $b$ 有 $W$ 關係，如果 $(a,b) otin W$ ，就稱 $a$ 和 $b$ 沒有 $W$ 關係。

其中， $a$ 和 $b$ 有 $W$ 關係記作 $aWb$ 或 $asim b$ 。

進一步地，我們來定義等價關係。

Def：如果集合 $S$ 上的一個關係 $sim$ 滿足：

反身性： $forall alphain S，asim a$
對稱性： $forall a,b in S,a sim bRightarrow bsim a$
傳遞性： $forall a,b,c in S,a sim b,bsim cRightarrow asim c$

那麼我們就稱 $sim$ 是集合 $S$ 上的一個等價關係。

Def：若 $sim$ 是集合 $S$ 上的一個等價關係， $a in S$ ，令

$ar{a} riangleq left{ x in S | x sim a ight}$

那麼我們就稱 $ar{a}$ 是集合 $S$ 上由 $a$ 確定的等價類（equivalent class）。

注意，等價類是一個集合！

而由這些集合組成的集合，我們就稱它為集合 $S$ 的一個商集。

Def：設 $sim$ 是集合 $S$ 上的一個等價關係，由這個等價關係確定的所有等價類組成的集合就稱為 $S$ 對於等價關係 $sim$ 的商集，記作 $S/sim$ 。

例如對於整數集 $Z$ ，我們可以證明「同奇偶」是一個等價關係，記這個等價關係為 $sim$ ，那麼

$S/ sim =left{ left{ 2n | n in Z ight},left{ 2n-1 | n in Z ight} ight}$

實際上，我們之後引入的商空間的概念與商集有很大的相似性。

聰明的人就可以看出來，所謂的關係實際上就是一種切塊（劃分），通俗點來說，我是舍友是舍友關係（實際上是父子關係……Im the father.），和其他人不是舍友關係。

這就是一個劃分，將所有除了我自己的人分為兩類（為啥要除掉我自己呢？哈哈有興趣的同學可以查查羅素悖論），也就好比在除了我自己的地球人這個大集合里划了一道，咔嚓將這個大集合分為兩個互不相交（這點很重要）的子集。

實際上，我們之所以引入等價關係的概念，就是為了讓由它劃分成的集合互不相交。

我們可以證明一下。

Theorem：對於集合 $S$ 上的兩個不同的等價類 $ar a,ar b$ ， $ar a cap ar b=varnothing$

proof

假設 $ar a cap ar b e varnothing$ ，則 $exists m in ar a cap ar b$ ，於是 $m sim a,m sim b$ 。

由等價關係的傳遞性得 $a sim b$ ，於是 $forall x in ar{a},xin ar{b}$ ，這就有 $ar{a} subset ar{b}$ ，同理 $ar{b} subset ar{a}$ ,故 $ar a=ar b$ ，矛盾，這就證明了 $ar a cap ar b=varnothing$ 。

由此我們可以得出推論

Corollary：對於集合 $S$ 上的兩個不同的等價類 $ar a,ar b$ ，若 $ar a cap ar b e varnothing$ ，則 $ar a=ar b$ 。

這裡需要指出的是，一個集合的等價類可以是有限個也可以是無限個。

集合的劃分

現在我們給出劃分（partition）的概念。

Def：如果集合 $S$ 是一些非空子集 $S_i$ （ $i in I$ ，這裡 $I$ 表示指標集）的並集，並且其中不相等的子集一定不相交（即不同的集合交集為空集），那麼稱集合 $left{ S_i | i in I ight}$ 是 $S$ 的一個劃分，記作 $pi(S)$ 。

實際上，每一個等價關係都能對應一個劃分，即對於集合 $S$ 上的任一等價關係 $sim$ ，由這個等價關係生成的等價類是集合 $S$ 的一個劃分。

我們把它作為一個定理指出。

Theorem

對於集合 $S$ 上的任一等價關係 $sim$ ，由這個等價關係生成的等價類是集合 $S$ 的一個劃分，記作 $pi_sim(S)$ 。

我們把這個定理的證明留給大家。

小結

到此為止，我們部分地解決了切分線性空間的問題。

總結一下，為了更加明晰線性空間的結構，我們選擇了將其拆分成多個子空間，但是直接研究拆分是困難的，於是我們就從拆分的反方向——子空間的和入手進行討論，過程中我們又引入了直和的概念。

最後，為了更精確的研究線性空間的劃分，我們提出了一個新的概念——陪集，為了使之後的概念給出更容易接受，我們先列出了一些預備知識，但是沒有明確指出，當然了，這也將是我們下一篇筆記中探討的重點。

下面是一些練習與上一篇的答案或提示『

Exercise

1.（丘維聲《高等代數下》P192例11）在數域 $K$ 上的線性空間 $K^4$ 中， $V_1=<alpha_1,alpha_2,alpha_3>,V_2=<eta_1,eta_2>$ ，其中

$alpha_1= left( egin{array}{c} 1\ 2\ 1\ 0 \ end{array} ight), alpha_2= left( egin{array}{c} -1\ 1\ 1\ 1 \ end{array} ight), alpha_3= left( egin{array}{c} 0\ 3\ 2\ 1 \ end{array} ight)$ , $eta_1= left( egin{array}{c} 2\ -1\ 0\ 1 \ end{array} ight), eta_2= left( egin{array}{c} 1\ -1\ 3\ 7 \ end{array} ight)$

分別求 $V_1 +V_2,V_1 cap V_2$ 的一個基與它的維數。

2.（Sheldon Axler《線性代數應該這樣學》P20習題13）證明或舉反例：如果 $U_1,U_2,W$ 是 $V$ 的子空間，使得 $U_1+W=U_2+W$ ，那麼 $U_1=U_2$

上一篇習題的答案或提示：

1.（丘維聲《高等代數上》P129習題1（1））求下列數域 $K$ 上齊次線性方程組的一個基礎解系與其的解空間

$left{ egin{array}{c} x_1-3x_2+x_3-2x_4=0 \ -5x_1+x_2-2x_3+3x_4=0 \ -x_1-11x_2+2x_3-5x_4=0 \ 3x_1+5x_2+qquad +x_4=0 \ end{array} ight.$

答案（答案不唯一）： $eta_1=(-5,3,14,0)^T,eta_2=(1,-1,0,2)^T$ ;

$W=left{ k_1eta_1+k_2+eta_2 | k_1,k_2 in K ight}$ 。

2.（丘維聲《高等代數上》P135習題1（3））求下列數域 $K$ 上非齊次線性方程組的一個基礎解系與其的解集

$egin{equation} left{ egin{array}{c} 2x_1-3x_2+x_3-5x_4=1 \ -5x_1-10x_2-2x_3+x_4=-21 \ x_1+4x_2+3x_3 +2x_4=1 \ 2x_1-4x_2+9x_3-3x_4=-16 end{array} ight. end{equation}$

答案（答案不唯一）： $gamma_0=(3,1,-2,0)^T,eta=(5,-2,-1,3)^T$

$U=left{ gamma_0+keta | k in K ight}$ 。

OK，這就是今天的全部內容了。

之前因為思路出現偏差，誤把商空間看成是線性空間切分的必要路徑了，後來才發現理解偏差，商空間也遠不止那些劃分出來的子空間（後面我們將談到），這裡向大家道個歉。

好在經過老師和師兄師姐們的指點，最後還是將觀念板正回來，重新規划了大綱，筆記才又能繼續下去。

這學期的高代馬上結課了，學期初給自己定的抽代卻還沒學完，實變是更不用說了，拖拖拉拉荒廢了一個月，得趁著學期末抓緊補一補了，真真是亞歷山大啊。

總之，我會儘力將這些做好，也希望大家一同努力，達到自己想要的期望。

最後，碼字不易，歡迎各位看官點贊收藏感謝打賞支持，小生在此拜過各位啦~~

任何筆記都具有著作權，未經同意不得剽竊或轉載。

高等代數筆記整理（五）

目錄

引言

子空間的和與直和

笛卡爾積(Cartesian product)

二元關係（Binary Relation）

集合的劃分

小結