代數：二次根式 幾何：勾股定理及其逆定理

幾何：勾股定理及其逆定理

［學習目標］

代數：會求二次根式中字母的取值範圍；會利用二次根式的兩個簡單性質解題。

幾何：會用勾股定理逆定理判定直角三角形。

二. 重點、難點：

1. 重點：

代數：求二次根式中字母的取值範圍，利用二次根式的兩個簡單性質解題。

幾何：利用勾股定理逆定理判定直角三角形。

2. 難點：

代數：根式中的被開方數是分式的情況；簡單性質的應用。

幾何：勾股定理與其逆定理的綜合應用。

［知識要點］

1. 代數

2. 幾何

勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長a、b、c有關係

，那麼這個三角形是直角三角形。

功能：已知三角形的三邊長，來判定此三角形是否為直角三角形。

方法：比較較小的兩邊長的平方和與最大邊的平方

若相等，則為直角三角形。

若不等，則不為直角三角形。

【典型例題】

例1. 當x為何值時，下列各式在實數範圍內有意義：

（1）

；（2）

；（3）

（4）

；（5）

分析：二次根式有意義要求被開方數大於或等於0。

（1）要使

有意義，需

，即

當

時，

有意義。

（2）要使

有意義，需

由<1>得：

由<2>得：

∴當

時，

有意義

（3）要使

有意義，需

由<1>得：

由<2>得：

由<3>得：

綜上，

時，

有意義。

（4）要使

有意義，需

與

均有意義

即

，

∴當

時，

有意義

（5）要使

有意義，需

，而x取任意值時，

∴當x為任何值時，

有意義

例2. 把下列非負數寫成一個數的平方的形式。

（1）8 （2）

（3）

解：（1）

（2）

（3）

例3. 在實數範圍內分解因式。

（1）

（2）

分析：（1）兩項，可看成平方差。

（2）三項，可看成完全平方差。

解：（1）

（2）

例4. 如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分線交BC於M，交AB於N，AC＝6cm，MB＝2MC，求AB的長。

分析：題目中出現垂直平分線，要想到利用垂直平分線的性質，所以連結AM，可得AM＝BM，又BM＝2MC，如果能求出BC長，根據勾股定理，即可求出AB。

解：連結AM

∵MN是AB的垂直平分線

∴AM＝BM（垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等）

設

，則

在

中，

在

中，

例5. 已知三角形的三邊長分別是

（n為自然數），試猜想△ABC是不是直角三角形。若是，請證明你的結論；若不是，請說明理由。

分析：已知三角形三邊長，判定該三角形是否為直角三角形，只需判斷較小兩邊的平方和是否等於最長邊的平方。

證明：

又

∴△ABC為Rt△

例6. 在△ABC中，若

，高

，求△ABC的周長。

分析：該題的關鍵是如何畫出符合條件的圖形，考察的是發散思維。

解：若圖形如（1）

在

中，

在

中，

∴△ABC的周長為

若圖形如（2）

在

中，

在

中，

∴△ABC的周長為

綜上，△ABC的周長為42或32。

【模擬試題】（答題時間：30分鐘）

一. 填空題。

1. 已知一個直角三角形的兩邊長分別是3和4，則第三邊長為___________。

2. 已知一個等腰三角形的周長是16，底邊上的高是4，則它的底邊長是___________。

3. 將直角三角形的三邊擴大相同的倍數後，得到的三角形是___________。

4. 當

在實數範圍內有意義時，x的取值範圍是___________。

二. 在實數範圍內分解因式：

（1）

（2）

三. 解答題。

如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，BC＝8，AD⊥BC，求

。

【試題答案】

一. 填空題。

1. 5或

2. 6

3. 直角三角形

4.

二.

（1）

（2）

三.

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