跳出數學教數學

兒童的學習活動是他們全部社會活動的一部分，他們對數學知識的認識過程應與他們身心全面發展過程同步。基於此，數學教師就應力求「跳出數學教數學」。這裡提到兩個「數學」，前者指數學課本和數學課堂，後者指數學知識、數學方法以及數學思想等。跳出數學教數學的意思是數學教師不要把自己和學生都死死地捆綁在教科書里，硬啃那些小學生認為枯燥的公式和定義，而應該勇敢地從書本里跳出來，把教材內容與生活實踐結合起來，在更廣闊的天地間開展教學活動，才會取得更好的教學效果與育人效果。 為什麼要跳出數學教數學，我想談兩點理由。 1、生活本身就是一個巨大的數學課堂。事實上，世界上哪一個空間或哪一段時間裡沒有數與形的存在呢？小學生雖然年齡很小，但在他們的生活經歷或生活體驗中，也會有著充滿數學因素的內容。遺憾的是我們當老師的，往往沒有引導學生對生活中客觀存在的、大量的極有價值的數學現象給予應有的關注和分析，反而因司空見慣而熟視無睹。如果能從某些生活現象中挖掘出數學因素，並充分利用，就能使學生化難為易地接受數學知識，進而使他們認識到生活中處處有數學，數學中也處處有生活的道理，以培養學生從小善於觀察生活，分析生活的習慣和能力。 2、生活之所以成為生活，之所以能夠存在並不斷完善和發展，必有它存在的合理性。人們都在生活中學習生活。兒童在觀察、分析、處理生活的過程中，也漸漸學會和積累了不少思維方法，有時還能在處理總是時表現出具有驚人的策略和創造精神。這是一種很強的生活能力，這種生活能力與數學能力只是領域不同而已，遷移過來，就可以為我所用。「海納百川，有容水大」這是指一個人的胸懷。數學課也應該敞開胸襟，把生活擁入自己的懷抱，使數學教學不斷地充實和發展。總之，「跳出數學教數學」的含義就是把兒童的學習行為放在他們生活的大環境之中，把學習數學的思維過程與認識生活現象的思維過程溝通，這樣就可以大大增強學生的數學意識提高學習數學能力。 下面僅舉幾例以作說明。 例1《乘數是兩位數的乘法》學生剛剛學習乘數是兩位數的乘法（如下式）時，首先要解決的不是怎樣算的問題，而是為什麼要用這樣的問題。具體地說，為什麼要用乘數個位上的數與十位上的數分別去乘被乘數，乘得的數為什麼還要相加？這既是重點問題，又是難點問題，只依靠單純地講解例題是難以奏效的。 2 4 × 1 3 —————— 7 2 2 4 —————— 3 1 2 我在講這節課時邊給學生放映攝影片，邊講一個「故事」：小明的媽媽買來13個雞蛋，想用枰稱一稱重量，可是枰盤小，一次最多只能放10個，媽媽認為沒有辦法了，你們能幫幫好她嗎？學生興緻很很高，紛紛說，可以先稱10個，再稱3個，然後把10個雞蛋的重量與3個雞蛋的重量加起來就是13個雞蛋的重量。這個用二次稱雞蛋的方法與乘數是兩位數的乘法算理是完全一致的，它們都是根據數的可分割性與可聚合性來完成這一實踐過程的。 例2《兩步計算的應用題》兩步計算的應用題，第一步需要求出的是一個「隱蔽條件」（或者說「中間問題」）。對於這樣一個既是條件，又是問題的數量，學生理解起來是很困難的。我在北京虎坊橋小學教書時曾給學生舉過這樣一例： 「如果我們從虎坊橋出發，乘公共汽車到頤和園，有沒有直達汽車？」 「沒有。」 「那怎麼辦？」 「坐15路，到動物園再倒車。」 「對！」 我邊說邊在黑板上畫了一幅示意圖。虎坊橋 ——→ 動物園 ——→ 頤和園 15路起點————→終點 332路 起點———→終點然後我問學生：「虎坊橋是我們出發的起點，頤和園是到達的終點，那麼動物園是起點，還是終點？」 「動物園既是起點，又是終點。它是15路的終點，又是332路的起點。 面 粉這樣，再結合具體應用題進行分析，學生對兩步應用題的結構和思路就十分清楚了。他們在互相講題時甚至都愛說：「你先得把這道題的『動物園』求出來。」「動物園」簡直成了隱蔽條件的代名詞。 水 餡此外，在一道應用題中，所有的條件之間並不都存在著「直接關係」。有些條件之間是直接關係，而有些條件之間是間接關係，怎樣才能區別並說明它們呢？我曾舉過一個「包餃子」的例子，效果也挺好。我首先板書（如右圖），並說明這些都是包餃子的必要條件，那麼哪兩個條件之間具備了「直接關係」呢？學生都說麵粉和水，麵粉和水可以做成麵糰，擀成皮兒，皮兒和餡兒又有了直接關係，可以包成餃子（如下圖）。如果勉強把麵粉和餡或者把水和餡結合起來的話，那就一定包不成餃子了。 例3《分數乘以整數》 1997年暑假，我應邀到西安去做課，內容是《分數乘以整數》，做課地點選定在西安交通大學一間很寬敞的階梯教室里，與我配合上課的是交大附小五年級的學生。分數乘以整數是個新知識，它與學生熟悉的兩個舊知識關係最密切，一個是整數乘法，因為它們的意義相同；另一個是分數加法，因為它是分數乘以整數計演算法則的基礎。在數學教學中，這種新舊知識具有密切聯繫的現象太普遍了，它是數學知識結構的一個十分重要的特點，如何才能讓學生輕鬆而深刻地領悟到這一特點呢？當我抬頭看到階梯教室內牆壁上寫有「交通大學」的字樣時，就有了主意。下面便是我與學生們課前的幾分鐘對話。 「同學們，你們是哪個學校的呀？」 「西安交通大學附屬小學。」 「你們當中可能有不少同學的爸爸、媽媽或爺爺、奶奶在西安交通大學工作，今天我們就來研究『交通』二字。」 我先用粉筆在黑板上畫了四條平行的直線（如下圖），然後問學生：「這四條直線表示四條公路，你們看，它們之間彼此『通』嗎？」 「不通。」 「為什麼不相通呢？道理很簡單，就是因為它們之間沒有『交』，只要『交』，一定會『通』。你們看——」我在四條直線之間又添畫一條垂線（如下圖），學生們都說，這回通了。 「由此看來，不交不通。交通，交通，只有交，才會通。在這裡，交是手段，是方法，通是目的。這個規律很適合我們學的數學知識，讓所有的知識都聯繫起來，才能使我們在知識的海洋的里遨遊。」 同學們由此受到很大啟發，不僅在這節課上找到了相關知識間的聯繫，而且無形之中接受了事物之間彼此不是孤立的，而是互相聯繫著的辯證唯物主義的啟蒙教育。不少聽課的老師也在課後對我說：「很有哲理，很受啟發。」 例4《量與計量》在小學數學教材中，有很多表示量的多少的計量單位，有同類的，也有不同類的；有同級的，也有不同級的，有的學生比較熟悉，如元、角、分或米、分米、厘米等；也有的十分陌生，如砘、千克、克或公頃、公畝等。計量單位本來就多而雜，還要記住它們之間的進率，而進行化法或聚法時，還要記住什麼時候除以進率，什麼時候去乘進率。小學生要掌握這麼多東西，無疑是十分困難、十分枯燥的。我想，一個量的大小是由兩個因素決定的——計量單位和講師單位的個數。這兩個因素相乘，就是這個量的大小。因此，一個確定的量，採用的單位越大，單位的個數就越少，相反，採用的單位越小，單位的個數就越多，這是一個統一的規律。學生如果能認識並掌握這個規律，就可「以不變應萬變」，從而解決所有的化聚法問題。為此，在一節課上，我搬來一個玻璃缸，裡面放滿水，用一把食堂用的大勺當著同學們的面往外舀水（如下圖），同時讓學生數數。當然沒舀幾勺水就差不多快舀光了。然後我把水都倒回玻璃缸，用一把吃飯用的小湯匙開始往外舀水，也讓大家數數。同學們都笑了，數了幾十下也沒舀出多少。最後我改用耳挖勺舀水，同學們都笑得直不起腰，說：「舀到明天也舀不完。」 我把三個勺子都舉手中讓同學們瞧：「同樣多的水，用大小不等的勺子來舀，這裡有個十分普遍也十分重要的規律——勺子越大，舀的次數就越少；反之，勺子越小，舀的次數就越多。」 然後我就由此引導同學們對計量單位與計量單位的個數之間的關係進行討論，也得出了如下的一個規律性認識： 舀水的遊戲，不是要解決某一個或某兩個化聚法的計算問題，而是要揭示、要說明一個普遍的規律。學生具備了這種規律性的認識，就可自己主動地解決許多問題。例如中年級學生學習的關於總數量不變的「歸總應用題」，五年級中關於總量不變的列方程解應用題以及六年級中「反比例應用題」等，都可以從舀水遊戲中受到啟發，從而認識題目的結構特點，找到解題思路。例5《約數與倍數》我在教學中的確曾大量引進過許多生活現象，這些生活現象豐富多彩，學生很熟悉，一旦與某些數學知識，數學方法，甚至數學思想聯繫起來，真可以發揮事半功倍的效果。但生活畢竟是生活，比較寬鬆，而數學又實在是太嚴謹了，弄得不好，也會產生負面效應。有一次我講約數與倍數。由於這兩個概念不是孤立的數學概念，它們彼此間存在著明顯的相互依存性。比如8，就不能說：「8是倍數。」也不能說：「4是約數。」而一定要說「8是4的倍數，4是8的約數。」 況且8對於4來說是倍數，而對於16來說，8還是約數呢？這種8既是倍數，又是約數的現象學生也不易理解。於是我便叫起一個學生，對他說：「你父親是你的父親，同時他又是爺爺的兒子，因此不能簡單孤立地說他是父親，或他是兒子，而一定要具體地說，他是誰的父親，或他是誰的兒子。」 這樣一講，大家就都明白了。過了兩天，一個同學找到我，對我說：「8也是8的倍數，也是8的約數，可是一個人卻不能說是自己的父親，也不能說是自己的兒子。」 學生說的很有道理。任何事物都是一分為二的，有利有弊，揚長避短，恰如其分將生活現象與數學問題溝通，才能更好地發揮教學效益。 總之，「跳出數學教數學」可以深入淺出。
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