【歪寫數學史】第十五章 橢圓雙雄---阿貝爾和雅可比

當23歲的阿貝爾站在人來人往柏林街頭，茫然無措的不知向左還是向右的時候，就在不遠的柏林大學裡，21歲的雅可比正在慶祝他剛剛獲得的博士學位。在柏林的茫茫人海中，也許他們曾經擦肩而過，或許有過目光交錯，可他們的命運就像是橢圓的長軸與短軸，雖然在橢圓的中心相交，但它們的方向卻是大相徑庭。

就在兩年之前，一個叫做橢圓函數的東西將他們連到了一起，在完全不知道對方的情況下，他們各自開始了對橢圓函數的獨立研究，並被公認為是橢圓函數論兩個獨立的奠基人。橢圓函數的出現讓花費了勒讓德半生精力的橢圓積分瞬間失去了大部分意義，當勒讓德理解了這兩位年輕人簡潔而有力的發現時，給予了高度的評價。這份遲到的評價讓雅可比如虎添翼，卻只能成為阿貝爾的墓志銘。

橢圓函數和橢圓算是遠房親戚，它是在求橢圓弧長時出現的橢圓積分的逆函數。它在複平面上的雙周期性可能用正弦或者餘弦函數來說明會更簡單一點。正弦函數是一個周期為2π的函數，如果你以2π為單位長度去切割實軸，那麼在每一段上的函數圖象都是一樣的。你可以先在0的地方切一刀，然後0到2π為一段，這樣做僅僅是為了美觀，實際上每一段的起點和終點都無關緊要，只要長度是2π就行。下面我們來考慮一個定義在整個複平面上的橢圓函數，想像它的圖像是一個覆蓋整個複平面的曲面。再假設它有兩個周期，一個實周期1和一個虛周期i，那麼我們可以做一個正方形，四個頂點分別為原點（0,0），（1,0），（0，i），(1,i)，然後我們在這個正方形的上下左右再做四個一模一樣的正方形，使得他們分別與第一個正方形共用一條邊，一直這麼做下去，我們可以用邊長為1的正方形覆蓋整個複平面，就如同給一張白紙打上了方格。所謂的雙周期性就是在每一個小正方形上面的函數圖象都是一樣的。如同正弦函數，這些正方形的頂點位置並不重要，你可以從任意位置開始。雙周期並不一定是一個實數，一個虛數，也不一定有一樣的模長，更為一般的情形是兩個復周期，然後劃分整個平面的不是正方形，而是平行四邊形。橢圓函數之所以重要，是因為它的出現拉開了19世紀數學的核心研究之一---單複變函數的大幕。

阿貝爾出生於挪威一個小村莊，父親是村裡的牧師，算是個文化人，母親據說非常美麗，阿貝爾從父親那裡繼承了聰明才智，而從母親那裡繼承了漂亮的外表。除了貧窮，沒有其他什麼事情能夠影響這個有著七個孩子的幸福家庭了，貧窮也不是他們一家的錯，整個挪威當時都處在吃不飽穿不暖的貧困狀態。雅可比的情況與此恰恰相反，作為一個成功的銀行家的兒子，他的家庭相當富有，直到36歲時家族的破產，貧窮一直是一個和他毫無關係的辭彙。

阿貝爾的數學天賦最早是被一個霍爾姆伯的數學教師發現的。作為一個數學工作者，霍爾姆伯並沒有什麼值得炫耀的天才，但是他有一雙發現天才的眼睛。他們第一次相遇時，阿貝爾已經十五歲，相比於其他天才數學家，阿貝爾已經稍稍落後，但是阿貝爾追趕的腳步也是異常的迅速，在霍爾姆伯的悉心指導下，阿貝爾跳過了那些對他沒有必要的入門課程，直接從牛頓，歐拉，拉格朗日的著作開始，到十六歲的時候，他已經讀完了高斯的經典《算術研究》。阿貝爾總結自己迅速成為一流數學家的原因時說道，「向大師們學習，而不是向他們的學生們。」在和阿貝爾接觸一年後，霍爾姆伯就認定挪威出了一位可以享譽歐洲的數學家，他們也從師生變成了摯友，並且從此在各方面，特別是在經濟上，霍爾姆伯對阿貝爾進行了力所能及的幫助。19歲的阿貝爾靠獎學金和資助在奧斯陸大學拿到了初等學位。由於一年前父親的去世，家庭的重擔已經完全落在了他的肩上。他只有不停的教課掙錢養家的同時盡量用自己的業餘時間去研究數學，好在他早已習慣了這種清苦的生活。

作為挪威最偉大的數學家，挪威從沒有忘記過阿貝爾，在首都奧斯陸的皇家公園裡佇立著他的雕像，那是一個無所畏懼的青年，在他腳下是兩隻被馴服的怪獸，一隻代表橢圓函數，而另外一隻代表的是五次方程。方程求解作為代數領域裡最早的研究方向甚至可以追溯到公元前兩千年的古巴比倫時代，一元四次方程的解決方法也在十五世紀由義大利數學家費拉里給出，而此後差不多三百年的時間裡，幾乎每一個對代數有點見地的人都曾經嘗試過這個看起來並不算很困難的問題，但是沒有人真正成功過，義大利數學家魯菲尼是最接近成功的一個人，但是他的證明有明顯的漏洞，阿貝爾是第一個徹底解決了這個問題的人，他證明了求根公式的不存在，並且給出了一個一般一元五次方程可以通過加減乘除和開平反運算得到解的充分條件，這個充分條件使得阿貝爾在一個他從來沒有涉足過的領域---群論里鼎鼎大名。隨便翻開一本抽象代數或者群論最入門的教材，阿貝爾群(交換群)都是必不可少的內容。阿貝爾並未停止與此，他還思考了對於一般n次代數方程求解的問題，非常遺憾的是他並沒有完成對這個問題的探索。

就在阿貝爾解決五次方程求解問題的同時，雅可比也在柏林嘗試著同樣的問題，但是卻以失敗告終。不同的數學天賦讓雅可比沒有阿貝爾的嚴謹與想像力，但是作為歷史上三大最具運算能力的人之一（另外兩位是歐拉和印度天才拉馬努金），他的天賦體現在處理複雜和繁瑣的運算上，所以他在力學和數學物理里等應用領域裡都有著不俗的貢獻。此外雅可比非常地勤奮，當有人向他抱怨長時間艱苦的科學研究會損害健康的時候，他回答說，捲心菜不會緊張也沒有煩惱，但是它能從它的健康里得到什麼呢？勤奮所以多產，不單是著作，還有七個孩子，而此後在柏林科學院工作，被普魯士國王資助再加上勤奮和計算能力，讓我不得不懷疑會不會是歐拉轉世。

在學習數學的方法上，雅可比和阿貝爾驚人的一致，都是直接從大師的著作開始，如果說阿貝爾選擇這種方式多多少少是因為挪威匱乏的數學教育資源，而雅可比更直接，他認為大學裡那些課程都是廢話。

偉大的數學家並不都是偉大的老師，過於跳躍的思維有時候會讓人難以跟上他們的步伐，雅可比和阿貝爾都可以算的上是好老師，不過要是比較的話，勝利的是雅可比。博士還沒畢業的雅可比已經是柏林大學的講師了，他在教學中講述最新的研究，鼓勵學生獨立思考和工作，他認為應該把學生直接扔到冰水裡，由他們自己學會游泳或者淹死。這種新穎的教學方式受到了學生的歡迎（應該是會游泳的學生的歡迎，淹死的也沒機會說話了），也得到了教育界的認可，在他博士畢業的時候，柯尼斯堡大學也把他聘為講師。在23歲時他被升為副教授，主要原因是他的一些數論的成果贏得了高斯的稱讚，於是教育部馬上關注和提拔了這個年輕人，因為他們知道高斯是不輕易稱讚別人的。此後高斯一直對雅可比非常關注，當他的家族破產的時候，高斯還擔心他的經濟狀況。如果高斯能夠把他對雅可比的關注分一點點給阿貝爾，那麼阿貝爾很有可能在他有生之年就得到他應有的榮譽，也很有可能延長他的數學生涯。

對於高斯，阿貝爾起先是非常的崇拜，他盼望有一天能得到王子的認可。於是當他好不容易得到政府的資助可以去歐洲遊學的時候，他沒有選擇最強的法國而是德國作為他的第一站。在開始這次旅行之前，阿貝爾自費印刷了他關於五次方程的論文，因為經濟原因，他把的結果濃縮在六頁不那麼精緻的紙上，他相信這是他打開歐洲數學最高殿堂的鑰匙。論文早於阿貝爾到達德國，據可靠的消息，當高斯收到論文時連讀都沒有讀就把它扔在了一邊。雖然我馬上就要為高斯辯護，但是我還是要說，對待年輕的科學家們，高斯很少展現出像對雅可比那樣一個王子應有的大度。僅就這件事來說，高斯有情可原。前文提到五次方程問題是個百年老坑，每一天都有人繼續往裡跳，這些人有數學家比如歐拉，拉格朗日，還有民間數學家比如張三和無名氏。數學家對於自己的工作很清楚，但是民數就完全沒有概念了，很多證法完全是天馬行空，只能用想像力豐富形容，這些證法的發明人都夢想著能借巨人之手一朝成名，所以大部分寄給了當時最出名的數學家高斯。所以當高斯收到阿貝爾的證明的時候，又把這個幾頁紙的證明當成了民數的科幻小說。當阿貝爾得知這件事以後，他停留在了柏林，而沒有去拜訪在哥廷根的高斯，從此以後阿貝爾對高斯的態度也來了個180度轉彎。很難說阿貝爾和高斯誰失去了更多，但是可以確定是數學上的損失。

在柏林，阿貝爾遇到了一個對他和雅可比都有著巨大影響的人---克列爾（Crelle），這個名字在此後的百年時間裡幾乎和每一個一流的德國數學家都有關聯。克列爾本人不算是數學家，只能說是愛好者。作為工程師，克列爾修建了德國的第一條鐵路，事業上的成功給他帶來了豐厚的利益，所以他可以花更多的時間在他喜歡的數學上。但是他的數學天賦不足以讓他做出任何值得記住的貢獻，所以他克列爾了曲線救國的道路，而事實證明他的選擇極為正確，他對數學的貢獻甚至超越了同時代大部分數學家。在遇到阿貝爾之前，克列爾正打算創辦世界上第一本純數學的期刊《純粹數學與應用數學雜誌》。當他遇到阿貝爾之後，雖然無法理解阿貝爾的所有成果，但是深深被阿貝爾打動，並決定讓阿貝爾當正在籌辦的雜誌的第一位撰稿人。在最初的三本期刊上有阿貝爾7篇文章，包括五次方程沒有一般代數解的證明，這些文章讓阿貝爾的名字傳遍了歐洲，也給這本雜誌帶來了最初的知名度。在阿貝爾去世以後，高產的雅可比接過了撰稿人的大旗，據說在很長一段時間內，平均每本期刊上有三篇雅可比的文章，再往後還有維爾斯特拉斯，克羅內克，康拓等人為這本雜誌添磚加瓦，這是後話，暫且不提。

離開德國，阿貝爾來到了巴黎，在這裡他受到了拒人於千里之外的禮貌接見。當時拉格朗日已經去世；另外兩個L都已經年過70，拉普拉斯是什麼都不幹了；勒讓德還在努力地工作著，但是思維和精力已經大不如前了；傅里葉得了終身秘書的閑職以後就只剩下夸夸其談了；泊松正忙著和安培做電磁方面的研究，數學已經不是首要任務了；還有一個德國人狄利克雷，正在為回國做準備；全科學院只剩下38歲的柯西還在正常工作。1826年10月的一天，題為《論一類非常廣泛的超越函數的一般性質》的論文呈交到巴黎科學院，這篇論文在勒讓德理解之後被他稱作「永遠的紀念碑」，被雅可比稱作「這個世紀最偉大的發現」，埃爾米特說「這是阿貝爾留給未來500年內數學家的工作。」就是這樣一篇重要的論文被忙於自己事業的柯西帶回家後不知道放到哪裡去了。直到1830年，阿貝爾已經離開這個世界，柯西才把它翻了出來，為此挪威曾向法國提出外交抗議。最可悲的是，這不是柯西不最後一次犯這個錯誤，而他的下一次錯誤將更加致命。

當阿貝爾還在巴黎尋找他渺茫的希望時，克列爾正在全力為他申請柏林大學的數學教授職位，並寫信勸說他到柏林去定居，於是阿貝爾又回到了柏林，此時他已身無分文，並且身體越來越不好，有一種傳聞是他在巴黎已經被診斷出肺結核，這在當時是不治之症。眼看著柏林大學的職位遙遙無期，阿貝爾向霍爾姆伯緊急借了一些錢，設法回到了挪威。即使當時阿貝爾已經是挪威公認的數學第一人，但是還是很難找到一個數學教授的職位，因為整個挪威那時都沒有什麼像樣的大學，僅有的幾個職位都沒有空缺。實際上經濟問題並不是阿貝爾的首要問題，他的名氣給他帶來了一些工作和收入，也有一些富人願意對他進行資助，但是他的身體卻越來越差，到1829年初的時候，他已經經常進入昏迷狀態。在阿貝爾生命最後的幾個月里，他的未婚妻一直陪伴他左右，並且拒絕一切幫助，「我要單獨享有他最後的時刻」她說。愛情應該是上帝給予阿貝爾的最後獎賞，同年4月，阿貝爾離開了這個世界，年僅26歲8個月。

相比於阿貝爾短暫而曲折的一生，雅可比大部分時間過著一個勤奮而正常的數學家該有的生活。家族的破產並沒有影響他，大學教授的收入已經足夠維持他所需要的生活。唯一值得一提的是他生命中最後幾年裡曾經涉足過政治，但是數學家嚴謹的邏輯和對於真理天真的執著和政治顯然是背道而馳，這次不成功的冒險差點使他失去了普魯士國王的資助。這裡稍微提一下歐洲君主的開明，雅可比一直拿著國王的津貼，卻參加了一個自由派的組織，這件事發生的時間是雅可比因為身體不適，國王准許他無限期的帶薪休假的過程中。自法國大革命以後，任何一個國王都知道除了保皇黨以外的其他黨派是怎麼回事，因此雅可比的津貼被停止了，僅此而已。稍後在洪堡的勸說下，因為普魯士不希望失去一個偉大的數學家，津貼又被恢復了。再來說說阿貝爾所在的挪威，當阿貝爾展示出超越了挪威這個小舞台的天才時，挪威的數學家天文學家們要求政府資助阿貝爾去歐洲，政府先是給了一個折中的方案，資助阿貝爾在挪威學習德語和法語，一年以後當呼聲再次響起的時候，政府妥協了，給阿貝爾準備了一筆並不豐厚但是夠用的資金。請注意挪威政府可不是公務員比例和公款消費都居世界第一的那個富政府，挪威當時是絕對的第三世界，只有一個窮的叮噹響的政府。如果我沒有記錯，好像這樣的自由和民主在社會主義初級階段還從來沒有實現過。47歲的時候，雅可比死於天花而不是象大家預料的那樣死於過度勞累，對於傅里葉對他和阿貝爾兩人把精力花費在橢圓函數這樣的純數學而不是向大眾解釋自然科學現象的指責，他回答說，「科學唯一的目的是對人類思想的榮耀，」這也很好的解釋了他心中的數學和他一生的追求。

阿貝爾的坎坷與出生於挪威這個當時不入流的國家有關，除了進入海盜圈，身為北歐人在當時基本上和科學沒什麼大關係。如同如果現在越南宣布出了象梅西一樣的天才足球運動員，你估計也就相信他有梅西的身材。不過有弊也有利，當阿貝爾變成民族英雄被國家記住的時候，雅可比得到了高斯的關注，享受了國王的津貼，而他的星光卻也只能被高斯和希爾伯特的日月光芒所掩蓋。

在阿貝爾死後第二天，他收到了柏林大學數學教授的任命通知書，如果能夠成行的話，他將和雅可比成為同事，惺惺相惜，強強聯合，雙劍合璧……，在數學裡這不是一個假命題，而是一個空命題，所以在這裡也沒有討論的必要。一年後，他收到了法國科學院的論文接受函和他與雅可比分享的大獎。在他的影響下，挪威又出了兩位世界級的數學家西羅（Sylow）和李（Lie），他們都將繼續研究阿貝爾的五次方程沒有代數一般解所引發的群論，不過在此之前，還需要一位比阿貝爾更天才，生活更傳奇，生命更短暫的年輕人---伽羅華，來完成阿貝爾留下的關於n次方程的題目，徹底打開群論的大門。

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