偏導，全微分，方嚮導數與梯度，各自有不同風景！

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多元函數與一元函數有一個很大的區別在於定義域的不同：一元函數自變數就在x軸上，因此趨近的方向只有某點的左右兩側，因此，考察一元函數極限的時候，僅考慮左鄰域和右鄰域即可。但是多變數微分變得複雜，趨向方式是無限種可能的。

比如：二元函數，定義域在一個平面內，趨近方式可以是直線，也可以是曲線。

1.偏導

類比於一元函數，也想研究函數的變化率問題，在日常生活中，我們經常遇到這樣的問題，一個值和許多元素相關，我們習慣只改變一個變數值，其它變數值固定，看變化的情況。

這個思想就是偏導數：

固定y，讓x變化就是對x的偏導數：從圖中來看相當於經過A點做平行於xoz的平面，與空間曲面相交得到曲線，做切線，此切線的斜率即此點關於x的偏導。（具體公式去看課本，這裡理解思想）

固定x，讓y變化就是對y的偏導數：

2.全微分

上面已經研究了分別控制自變數x,y，函數的改變數。那麼兩個自變數都變化呢，很幸運我們得到如下方式：

可以看到全微分是滿足疊加性的，全微分等於由於各自變數改變引起函數值變化之和。

當然，全微分要比存在偏導要求更嚴格。全微分要求任意路徑的切線都要存在且在一個切平面內（參見如何理解全微分），而偏導存在只能證明沿著x軸和y軸方向的切線存在。

3. 方嚮導數

方嚮導數思想很簡單，x和y均不固定，但是x和y的變化在一條直線上，此時考察函數的變化。值得注意的是，即使任意方嚮導數均存在，也不能保證全微存在。因為僅保證了以直線趨近到點A的導數存在。

公式：

為了幫助理解，仍用二元函數，定義域內取一個方向為：

4. 梯度向量

問題來了，方向向量角度是可以從0-360度的，哪個方向是函數值變化最大的呢？

從數學上來看非常簡單，上面已經推導出了內積的形式，那麼內積最大的時候，即兩者同向的時候，此時得到梯度向量為，

梯度向量是方嚮導數最大的地方，也就是曲面上最陡峭的方向，在日常生活中梯度向量用的非常多，因為我們經常會遇到找尋下降最快的路徑（梯度向量的反方向）等問題，比如下山最省力氣的路徑。

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