自然常數「e」，工程中的自然數「1」

來自專欄劉梳子數學5 人贊了文章

客觀世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始終都在運動和變化著。我們一般把一種自然現象的狀態用一個函數表示，而狀態的變化用化率的變化率等等）來描述了。

首先明確一下幾個概念，這樣更有利於後面的分析。狀態量是指描述事物當前狀態的量，比如某根竹子長5m，某個人體重50Kg。狀態量的變化率對應的是導數的概念，是指無窮小時間內狀態增量和時間增量的比值。

函數的導數表示，這樣就可以把事物的發展和變化用當前的狀態量以及當前狀態量的變化率（以及狀態量變化率的變化率等等）來描述事物的發展和變化了。

單位狀態量的變化率是指狀態量的變化率與狀態量之間的比值。

大家可以仔細體會一下這兩個定義的區別：狀態量變化率對應的是宏觀觀念，描述的是整體的變化情況；單位狀態變化率對應的是微觀觀念，描述的的局部變化情況。實際事物的局部變化往往是某種物理規律決定的，與當前系統總的狀態是無關的。比如竹子的成長變化，每一處竹子的成長規律都是一樣的，和當前竹子總長度是無關的，再比如每一個細胞如何分裂的規律是固定的，和當前有多少細胞也沒關係。

下面我們來看一個簡單的物理現象：假設一根竹苗是1m，它是連續的生長的，增長率為100%/year/m（注意是單位狀態量的變化率哦）,請問一年後竹子會長多高? 這個問題初看簡單，但我敢打賭，大部分人在10分鐘內是解答不了的。

學渣給出的答案是：

初看這個答案是對的，但仔細一想是有問題的，問題的原因是馬克思主義哲學沒學好，具體一點就是沒用發展變化的觀點看待問題，忽略了竹子是一直在增長的，新長出來的部分也會繼續生長，這是一個動態的過程。

學霸對解算方法進行了改進，可能會給出這樣的答案：

既然單位增長率為100%/year/m，那就是100%/12/month/m，每個月我們觀察一下，同時把每個月新增長的部分也加進來，作為下個月增長的基數，累計下來一年增長為：

或者每天觀察一下，累計一年增長為：

然而仔細想還是有問題，每兩天之間竹子也在生長，頭一天長出來的竹子在第二天也會有新的生長。有沒有終性的解決方案呢？作為大眾的偶像學神，歐拉是怎麼解決這個問題呢？請看下面這個式子：

可能很多人看到這個公式是眼熟而且痛恨的，沒錯，這就是高等數學上對自然常數e的定義，當初不知道折磨了多少人。這是一個極限問題，但是話又說回來，連續物體的變化本質都是極限問題，因為連續的定義就是距離無窮小嘛。對於這個式子，要回答兩個問題：極限到底存不存在，如果存在，數值會是多少呢？大神歐拉證明了這個極限是收斂的，數值為2.718左右，因此通常也稱之為歐拉常數e。

通過簡單的變形可以得到：

由上面的分析可知，對於一個單位狀態量的變化率是固定值的系統，其狀態可以用自然常數的指數函數來表示。如果仔細觀察上式，我們還可以得出一個重要的結論：

指數函數e^x的變化率與當前的狀態值是一樣的，這是指數函數的一個內稟屬性，這是在定義e的時候就已經隱含的屬性。

總結一下，e到底代表了什麼呢？為什麼能稱之為自然常數？它到底蘊含什麼終極奧義？簡單點來說，對於一個單位狀態量的變化率是固定值（100%）的系統，e代表了在一個單位時間內，連續的翻倍增長所能達到的極限值。比如說你存1塊錢給銀行，銀行的年利率是100%，如果一年存一次可獲得2元，如果存12次可獲得2.613元，如果存無限多次，最多也只能獲得e元。更深刻一點的說：e描述了連續體變化或物體連續變化的一種狀態（單位狀態量變化率是固定值），而自然界中大部分事物變化發展是接近這種狀態的，這也就是為什麼很多狀態曲線呈現指數樣式的原因所在。簡單一句話：e代表了連續。