2+1 維引力論(2)：聯繫引力場與規範場

08-13

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上個世紀60年代，為了將引力場納入規範場的框架中，人們做了許多嘗試。一個直接的想法是，將聯絡 $omega_{ib}^a$ 看作是Lorentz 變換的規範場，將標架 $e_i^a$ 看作是平移變換的規範場。如果這個想法是可行的，我們將會得到一個非常好的結論： $d$ 維廣義相對論是 $ISO(d-1,1)$ 的規範場。可是，這個想法是不成立的。其一是，考慮到 (4維) 引力對應的Einstein-Hilbert作用量 $I=int ewedge ewedge R=int ewedge ewedge(domega+omegawedge omega)$ ，在規範理論里並沒有形式與之對應的作用量，其二是，並不存在相應的Chern-Simons作用，之後我們將會詳細講明。

我們首先回顧一下Cartan-Einstein理論 (Cartan formalism of general relativity)。

對於 $d$ 維時空流形 $M$ ，有一個切叢 $TM$ 。我們構造一個以Lorentz群 $SO(d-1,1)$ 為結構群的 $d$ 維向量叢 $V$ ，它與切叢 $TM$ 同構。說 $V$ 以 Lorentz群 $SO(d-1,1)$ 為結構群，就是說它有度量矩陣 $(eta_{ab})$ 和體積元 $epsilon^{a_1dots a_d}$ ，取 time positive signature， $(eta_{ab})$ 有符號 $(1,-1,dots,-1)$ 。一個自然的同構映射是標架場 $e:TM ightarrow V$ ，它給出一個拉回映射 $g(X,Y)=eta(e(X),e(Y))$ ，其中 $X$ 和 $Y$ 是切叢上的兩個截面，相當於給出了切叢上定義的度量張量 $g_{ij}=e_i^a e_j^beta_{ab}$ (也可看作是坐標變換規律)。因此，體積元在局部坐標下為 $epsilon^{a_1dots a_d}=sqrt{|g|}dx^{a_1}wedgedotswedge dx^{a_d}$ 。在定義度量張量的時候，我們要求 $(g_{ij})$ 是非退化的，即映射 $e$ 是可逆的。事實上，標架 $e_i^a$ 是幾乎處處可逆的，不可逆的點構成一類經典廣義相對論的奇點，具體的討論見文獻 [1]。

曲率張量定義為 $R_{ijb}^a=partial_{[j}omega^a_{b]i}+omega^a_{lambda[j}omega^lambda_{b]i}$ ，那麼在4維時，Einstein-Hilbert作用量就是標量 $I=frac{1}{2}int_Mepsilon^{ijkl}epsilon_{abcd}left(e_i^ae_j^bR_{kl}^{cd} ight)$ ，其中，Lagrangian density 為一個 4-形式 $ewedge ewedge R：V imes V imes Lambda^2V ightarrowLambda^4V$ ， $Lambda^k V$ 表示 $k$ 階外代數。對聯絡變分，可以得到聯絡的無撓性(運動方程)；對標架變分(標架給出度量張量，即相當於對度量變分)，就得到Einstein方程，即Ricci-flat條件。在三維時，Einstein-Hilbert作用量為

$I=frac{1}{2}int_Mepsilon^{ijk}epsilon_{abc}left(e_i^a(partial_{[j}omega^{bc}_{k]}+omega^b_{lambda[j}omega^{lambda c}_{k]}) ight)=frac{1}{2}int_Mepsilonwedge (ewedge R)$ ，

其中，Lagrangian density 為一個 3-形式。如果我們考慮將標架和聯絡看做是規範場，那麼三維Einstein-Hilbert作用量的Lagrangian density 就有希望是 Chern-Simons 3-形式。

事實上，對於3維 (2+1維) 非交換規範場中的Chern-Simons作用量，文獻 [3][4] 已經做了討論，並且它被看作是通常的Yang-Mills作用量的附加項。關於僅有Chern-Simons作用量的交換規範場的討論，見 [5]. 此外，文獻 [2] 指出，僅有Chern-Simons作用量的非交換規範場是可解的。3維Chern-Simons作用量為 $I_{CS}=frac{1}{2}int_MTr(Awedge dA+frac{2}{3}Awedge Awedge A)$ ，其中規範場 $A$ 是一個 Lie-algebra-valued 1-form， $Tr$ 是一個到實數的雙重線性映射，它的具體含義可以如下考慮。取 Lie 代數的一組基 $T_a$ ，那麼規範場 $A=A^aT_a$ ，3維Chern-Simons作用量的第一項可以寫作 $Tr(T_a,T_b)int_M(A^awedge d A^b)$ ，其中 $d_{ab}=Tr(T_a,T_b)$ 可以看作是Lie代數上的度量張量。

引理 2.1： Chern-Simons作用存在當且僅當 $d=3$ .

證明：我們考慮一般 $ISO(d-1,1)$ 的情形。記 Lorentz 變換的生成元為 $J^{ab}$ ，平移變換的生成元為 $P^a$ ，我們可以構造一個不變數 $W=xJ_{ab}J^{ab}+yP_aP^a$ ，其中 $x$ 和 $y$ 都是實數。我們要求 $W$ 關於平移變換的生成元交換，即 $x=0$ ，此時 $W$ 退化，所以一般 $ISO(d-1,1)$ 的Chern-Simons作用不存在。

對於3維情形，我們可以找到另一個不變數 $W=epsilon_{abc}P^aJ^{bc}$ ，它是非退化的。因此， 3維情形 Chern-Simons作用存在。 $Box$

在3維情形下，記 $J^a=frac{1}{2}epsilon^{abc}J_{bc}=*J_{bc}$ ，那麼不變數 $W=2P^aJ_a$ ，群 $ISO(2,1)$ 的生成元有正交性歸一性： $<J_a,P_b>=delta_a^b,quad <J_a,J_b>=<P_a,P_b>=0$ ，對易性： $[J_a,J_b]=epsilon_{abc}J^c,quad [J_a,P_b]=epsilon_{abc}P^c,quad [P_a,P_b]=0$ . 構造群 $ISO(2,1)$ 的規範場的關鍵是通過標架和聯絡構造 Lie-algebra-valued 1-form $A$ ，一個直接的構造是， $A_i=e_i^aP_a+frac{1}{2}omega_i^{bc}J_{bc}=e_i^aP_a+omega_i^aJ_a$ ，在規範理論中，對應的無窮小參數是 $u= ho^aP_a+ au^aJ_a$ ，其中 $ho^a$ 和 $au^a$ 是無窮小參數。按已有的規範理論，在規範變換下 (之後我們要證明，2+1維引力中的演化可以看作是由 $ho^a$ 生成的平移變換)，有 $delta A_i=-D_iu:=partial_iu+[A_i,u]$ ，利用生成元的對易性，有規範變換規律：

$delta e_i^a=-partial_i ho^a-epsilon^{abc}e_{ib} au_c-epsilon^{abc}omega_{ib} ho_c,quad deltaomega_i^a=-partial_i au^a-epsilon^{abc}omega_{ib} au_c$ . 另一方面，利用曲率是導數運算元的對易子，有 $R_{ij}=[D_i,D_j]=X^a_{ij}P_a+Y^a_{ij}J_a$ 可以看作是生成元的線性表示，其中

$X_{ij}^a=partial_{[i}e_{j]}^a+epsilon^{abc}(omega_{ib}e_{jc}+e_{ib}omega_{jc}), Y_{ij}^a=partial_{[i}omega_{j]}^a+epsilon^{abc}omega_{ib}omega_{jc}$ .

在4維無邊界的流形 $Y$ (可能是某個域的邊)上，我們可以構造拓撲不變數 $frac{1}{2}int_Yepsilon^{ijkl}X_{ij}^aY_{kla}$ ，事實上我們可以證明，它的被積函數是全微分，因此，令 $partial Y=M$ ，由Stokes定理，有Chern-Simons 作用量 $I_{CS}=int_Mepsilon^{ijk}(e_{ia}Y_{jk}^a)=frac{1}{2}int_Mepsilonwedge ewedge R$ ，至此，我們證明了，2+1維引力的Einstein-Hilbert 作用量與Chern-Simons作用量是等價的。

引理 2.2：2+1維引力中的局部Lorentz變換可以看作是由 $au^a$ 生成的旋轉變換；2+1維引力中的演化可以看作是由 $ho^a$ 生成的平移變換。

證明：由之前得到的規範變換規律， $au^a$ 生成局部 Lorentz變換是顯然的。 $ho^a$ 生成的平移變換規律為： $delta e_i^a=-partial_i ho^a-epsilon^{abc}omega_{ib} ho_c, deltaomega_i^a=0$ . 考慮由向量場 $-v^i$ 誘導的 (演化) 微分同胚，變換規律應當是 (也即求Lie導數)

$ilde{delta}e_i^a=-v^ipartial_{[k}e_{i]}^a-partial_i(v^ke_k^a), ilde{delta}omega_i^a=-v^ipartial_{[k}omega_{i]}^a-partial_i(v^komega_k^a)$ .

我們令 $ho^a=v^ke_k^a$ ，對兩個變換規律作差，有 $ilde{delta} e_i^a-delta e_i^a=-v^iD_{[k}e_{i]}^a+epsilon^{abc}v^komega_{kb}e_{ic}$ ，其中第一項為零正是聯絡的無撓性。再令生成局部 Lorentz變換的參數 $au=v^komega_k^a$ ，此時兩個變換規律相等。 $Box$

參考文獻

[1] R.D Auria and T. Regge, Nucl. Phys. B195 (1982).

[2] E. Witten, Quantum field theory and the Jones polynomial, IAS preprint.

[3] J. Schonfeld, Nucl. phys. B185 (1981).

[4] R. Jackiw and S. Templeton, Phys. Rev. D23 (1981).

[5] A. Schwarz. Lett. Math. Phys. 2 (1978).