Frobenius自同態

08-14

Frobenius自同態

14 人贊了文章

設 $R$ 是特徵為素數 $p$ 的交換環（例如整環的非零特徵總是素數）. Frobenius自同態 $F_{R}$ 定義為

$F(a)=a^{p},qquad forall ain R$

直接驗證可知這是一個環同態. 它具有如下基本性質：

設 $varphi:R o S$ 是兩個特徵為素數 $p$ 的交換環，則 $varphicirc F_{R}=F_{S}circ varphi$ .
如果環 $R$ 沒有冪零元，則 $F_{R}$ 是單射. 特別地，若 $R$ 是整環，則 $F_{R}$ 是單射.
即使 $R$ 是一個域， $F_{R}$ 也不一定是滿射. 回顧一個域 $k$ 稱為perfect，如果 $ext{Char}(k)=0$ 或 $ext{Char}(k)=p>0$ 且 $F_{k}$ 是一個自同構. 例如有限域都是perfect域.

有限域的「對稱」

我們回顧有限域是長什麼樣子的

任意特徵 $p>0$ 的有限域 $k$ 都是 $mathbb{F}_{p}:=mathbb{Z}/pmathbb{Z}$ 的有限擴張 $mathbb{F}_{q}$ ，這裡 $q=p^{[k:mathbb{F}_{p}]}=|k|$ . 它恰好是 $X^{q}-X$ 的分裂域，是 $mathbb{F}_{p}$ 的Galois擴張，並且在同構意義下是唯一確定的.

對任意的交換 $mathbb{F}_{q}$ -代數，定義其Frobenius自同態

$Fr_{q}:A o A,qquad xmapsto x^{q} .$

直接驗證可知 $Fr_q$ 確實是環同態. 又由於 $forall xin mathbb{F}_{q},x^{q}=x$ ，故 $Fr_{q}$ 是 $mathbb{F}_{q}$ -線性的. 對任意的交換 $mathbb{F}_{q}$ -代數同態 $varphi :A o B$ ，我們也有 $varphi circ Fr_{q}(A)=Fr_{q}(B)circ varphi$ .

現在我們回顧有限域的Galois理論：

設 $E/F$ 是特徵為 $p>0$ 的有限域的擴張，且 $|F|=q$ . 則 $E/F$ 是Galois擴張，群 $Gal(E/F)$ 是由 $Fr_q$ 生成的 $n=[E:F]$ 階循環群. 更近一步地，對每個 $d|n$ 都存在唯一的中間域 $E_dsimeq mathbb{F}_{q^{n/d}}$ 使得 $[E:E_{d}]=d$ ，且 $d_{1}|d_{2}iff E_{d_{1}}supset E_{d_{2}}$ .

概形的Frobenius自同態

設 $p$ 是一個素數. 令 $q=p^{n}$ 和 $k=mathbb{F}_{q}$ . 考慮環同態 $varphi:k[x_{1},cdots,x_{n}] o k[x_{1},cdots,x_{n}],~x_{i}=x_{i}^{p},~forall i$

令 $F:mathbb{A}_{k}^{n} o mathbb{A}_{k}^{n}$ 是相應 $varphi$ 的態射. 則

$F^{n}$ 是集合之間的恆等映射，但不是概形之間的恆等態射.
$F$ 是一個雙射，但不是概形之間的同構.

定義：固定一個素數 $p>0$ . 考慮over $mathbb{F}_{p}$ 上的概形 $X$ . 我們定義絕對Frobenius態射 為一個自同態 $F_X:X o X$ 使得對每個仿射開子集 $ext{Spec }Asubset X$ ， $F$ 對應環態射 $A o A,~amapsto a^{p},~forall ain A$ .

絕對Frobenius態射有如下基本性質：

設 $f:X o Y$ 是兩個over $mathbb{F}_{p}$ 上的概形的態射. 則 $fcirc F_{X}=F_{Y}circ f$ .
對任意 $xin X$ 我們有 $F_{X}(x)=x$ .

設 $S$ 是一個over $mathbb{F}_{p}$ 上的概形和 $X$ 是一個 $S$ -概形. 令 $X^{(p)}:=X imes_{S}S$

其中 $F_{X/S}:X o X^{(p)}$ 稱為相對Frobenius態射 .

可以證明圖中 $F_{X/S}$ 和 $alpha$ 都是同構.

讓我們看看仿射的情形相對Frobenius態射在說什麼：

設 $S= ext{Spec }A$ 是over $mathbb{F}_{p}$ 上的概形， $X= ext{Spec }A[x_{1},cdots,x_{n}]/I$ . 則 $X^{(p)}= ext{Spec }A[x_{1},cdots,x_{n}]/I^{(p)}$

其中 $I^{(p)}$ 是由形如 $sum_{ uin mathbb{N}^{n}}a^{p}_{ u}x^{ u}$ 滿足 $sum_{ uin mathbb{N}^{n}}a_{ u}x^{ u}in I$ . 另外，相對Frobenius態射 $F_{X/S}:X o X^{(p)}$ 由 $A$ -代數同態 $x_{i}mapsto x_{i}^{p}$ 誘導，而 $alpha$ 把係數映到 $p$ 次冪，變數 $x_i$ 不動.

設 $X$ over $mathbb{F}_{q}$ 上的代數簇，則

$X^{(p)}=X,F_{X}=F_{X/mathbb{F}_{q}}$
記 $overline{F}_{X}:X_{ overline{mathbb{F}}_{q}} o X_{ overline{mathbb{F}}_{q}}$ 為 $F_X$ 誘導的態射. 假設 $X= ext{Spec }A[x_{1},cdots,x_{n}]/I$ ，把 $X_{ overline{mathbb{F}}_{q}}$ 看成 $X_{ overline{mathbb{F}}_{q}}={(a_{1},cdots,a_{n})in overline{mathbb{F}}_{q}~|~P(a_{1},cdots,a_{n})=0,~forall Pin I}$ 則 $overline{F}_{X}(a_{1},cdots,a_{n})=(a_{1}^{q},cdots,a_{n}^{q})$
集合 $X(mathbb{F}_{q})$ 恰好是 $overline{F}_{X}:X_{ overline{mathbb{F}}_{q}} o X_{ overline{mathbb{F}}_{q}}$ 的不動點集合. 這是因為：對於 $xin overline{mathbb{F}}_{q}$ ，我們有 $xin mathbb{F}_{q}iff x^{q}=x$
同樣地， $X_{ overline{mathbb{F}}_{q}}$ 在 $overline{F}_{X}$ 的 $n$ 次迭代作用下 $overline{F}_{X}^{n}:X_{ overline{mathbb{F}}_{q}} o X_{ overline{mathbb{F}}_{q}}$ 的不動點集合恰好是集合 $X(mathbb{F}_{q^{n}})$ .
$overline{F}_{X}:X_{ overline{mathbb{F}}_{q}} o X_{ overline{mathbb{F}}_{q}}$ 是次數為 $q^{ ext{dim }X}$ 的有限態射.