Kaledin-Lehn猜想

08-15

Kaledin-Lehn猜想

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之前已經寫過兩篇關於formality of $A_infty$ -algebra的文章了，分別是Intrinsic formality和Formality of Fukaya A_infty algebras，本文是這個系列的第三篇，主要想討論一些holomorphic symplectic manifold中complex Lagrangian submanifolds定義的Fukaya $A_infty$ -algebra的formality。

出發點是Deligne-Griffiths-Morgan-Sullivan在70年代證明的如下定理：

對於compact Kahler manifold $M$ ，它的de Rham dg algebra $C^ast(M;mathbb{Q})$ formal。

從辛幾何的角度看，上述結果相當於證明了對於cotangent bundle $T^ast M$ 的zero section $Msubset T^ast M$ 而言，它的Fukaya $A_infty$ -algebra $mathit{CF}^ast(M,M)$ over $mathbb{Q}$ formal。

我們都知道，對於Kahler manifold $M$ 而言，它在 $T^ast M$ 中的neighborhood上存在hyperkahler structure，並且使得 $M$ 是這個hyperkahler neighborhood中的complex Lagrangian。

為了明確起見，對於hyperkahler manifold $X$ 和complex structures $I,J,K$ ，我們始終用 $omega_J$ 作為 $X$ 上的symplectic structure，我們說Lagrangian submanifold $Lsubset X$ 是complex Lagrangian假如它關於 $I$ holomorphic。

對Deligne-Griffiths-Morgan-Sullivan定理的辛幾何解釋很自然地導致了如下猜想：

對於hyperkahler manifold $X$ 中的complex Lagrangian submanifold $L$ 而言，它的Fukaya $A_infty$ -algebra $mathit{CF}^ast(L,L)$ over Novikov field $Lambda^mathbb{K}$ formal，其中 $mathrm{char}(mathbb{K})=0$ 。

上述對Novikov field的使用是由於要保證定義Floer theory時的convergence，假如 $X$ non-compact， $omega_J$ 和 $L$ exact，那麼 $Lambda^mathbb{K}$ 可以換成任何characteristic 0的field。

最近Solomon和Verbitsky的工作證明了上述猜想是正確的：

[1805.00102] Locality in the Fukaya category of a hyperk"ahler manifold?

arxiv.org

但辛幾何之所以比拓撲更有趣，在於它可以把拓撲視為一種局部的特殊情形。相應地，Fukaya $A_infty$ -algebra的formality也可以對一族Lagrangian submanifolds考慮而不是僅僅對單個Lagrangian的情形才make sense。於是我們有如下更有趣的問題：

問題（Smith-Solomon） 對於hyperkahler manifold $X$ 以及complex Lagrangian submanifolds $L_1,dots,L_rsubset X$ 而言，Fukaya $A_infty$ -algebra

$mathscr{A}_r:=igoplus_{1leq i,jleq r}mathit{CF}^ast(L_i,L_j)$

over semisimple ring $Bbbk:=igoplus_{i=1}^rLambda^mathbb{K}cdot e_i$ 是否是formal $A_infty$ -algebra？

值得注意的是，一族Lagrangian submanifolds中每個Lagrangian的Fukaya $A_infty$ -algebra的formality並不導致整體定義的Fukaya $A_infty$ -algebra的formality。作為例子，考慮genus 2 surface $Sigma_2$ 的Fukaya category $mathcal{F}(Sigma_2)$ ，它被5個simple closed curve $gamma_1,dots,gamma_5subsetSigma_2$ generate。因為每個 $gamma_i$ 都是circle，它的Fukaya $A_infty$ -algebra $mathit{CF}^ast(gamma_i,gamma_i)cong C^ast(S^1)$ 當然是formal的，但可以證明，此時它們合在一起定義的Fukaya $A_infty$ -algebra non-formal。另一個例子參考我在上一篇文章Formality of Fukaya A_infty algebras中提到的Lekili-Ueda在Milnor fiber of Bireskorn singularity上的工作。

儘管存在上述反例，但對於hyperkahler manifold中的complex Lagrangian submanifolds而言，Smith-Solomon提出的問題似乎應該有一個正面的回答。至少從目前來看，我們有一些正面的例子。在去年的文章Intrinsic formality中，我提到了Etgu和Lekili的結果，即對於Milnor fiber of ADE singularities而言，vanishing cycles定義的Fukaya $A_infty$ -algebra over任意 $mathrm{char}(mathbb{K}) eq 2,3,5$ 的field $mathbb{K}$ intrinsically formal。這些Milnor fiber都是non-compact hyperkahler manifold，在complex structure $I$ 下，它們被稱為ALE space。從代數幾何的角度看，它們是minimal resolutions of du Val singularities，而相應的vanishing cycles就是exceptional curves，因此它們都是complex Lagrangian。

另一個重要的例子是Abouzaid和Smith研究的symplectic arc algebra：

The symplectic arc algebra is formal?

projecteuclid.org

此時 $X=mathscr{Y}_k$ 是個Nakajima quiver variety，因此hyperkahler。Manolescu證明了存在open embedding $mathscr{Y}_khookrightarrowmathrm{Hilb}^{[k]}(A_{2k-1})$ ，其中 $A_{2k-1}$ 是Milnor fiber of $A_{2k-1}$ -singularity。Fukaya $A_infty$ -algebra $mathscr{A}_r$ 是由crossingless matchings定義的Lagrangian submanifolds $L_icong (S^2)^k$ 在Fukaya category $mathcal{F}(mathscr{Y}_k)$ 中的endomorphism algebra。 $L_i$ 是 $mathscr{Y}_k$ 中的complex Lagrangian submanifold且關於 $omega_J$ exact。這裡 $r=frac{1}{k+1}inom{2k}{k}$ 。

定理（Abouzaid-Smith） 對於任意 $mathrm{char}(mathbb{K})=0$ 的field $mathbb{K}$ 而言， $mathscr{A}_r$ formal。

他們的證明用到了我在上一篇文章Formality of Fukaya A_infty algebras里提到的Seidel的formality criterion。

值得一提的是，在上述正面的例子中對於 $mathscr{A}_r$ 的formality的驗證，都依賴於具體情形下特殊的幾何性質和一些在一般情形成立的代數工具，完全沒有涉及到對 $X$ 上hyperkahler structure和 $L_isubset X$ 上complex structure的使用。因此，這些方法對於在一般情形下回答Smith-Solomon的問題都沒有幫助。

由於hyperkahler manifolds基本上是self-mirror的。特別地，它們的mirror也應該是hyperkahler manifolds。根據homological mirror symmetry，在代數幾何上也應該存在類似的，關於stable objects in derived category of coherent sheaves定義的endomorphism algebras（更確切地，它們的dg enhancements）的formality的猜想。對於K3 surface $X$ 而言，這就是所謂的Kaledin-Lehn猜想。

假設 $X$ 是projective K3 surface， $mathscr{L} ightarrow X$ 是ample line bundle，而 $mathscr{F}$ 是over $X$ 的 $mathscr{L}$ -polystable coherent sheaf。

猜想（Kaledin-Lehn） $Rmathrm{Hom}^ullet(mathscr{F},mathscr{F})$ 是formal dg algebra。

這個猜想最近已經被Budur-Zhang證明了：

[1803.03974] Formality conjecture for K3 surfaces?

arxiv.org

證明的方法是基於Fourier-Mukai functor preserve formality的事實，尋找一個合適的Fourier-Mukai functor $Phi:D^bmathit{Coh}(X) ightarrow D^bmathit{Coh}(Y)$ 把K3 surface $X$ 上的polystable sheaf $mathscr{F}$ send到另一個K3 surface $Y$ 上的polystable sheaf $Phi(mathscr{F})$ ，並且使 $Phi(mathscr{F})$ 滿足某些特定的性質。而當這些性質成立的時候，Kaledin-Lehn猜想是不難驗證的。

事實上，這個方法使他們可以證明如下更一般的結果：

定理（Budur-Zhang） 對於projective K3 surface $X$ ，Mukai vector $f{v}$ ，和關於 $f{v}$ generic的Bridgeland stability condition $sigma$ ， $D^bmathit{Coh}(X)$ 中任何 $sigma$ -polystable object $mathscr{E}$ 定義的dg algebra $Rmathrm{Hom}^ullet(mathscr{E},mathscr{E})$ formal。

如果說原始版本的Kaledin-Lehn猜想對應於辛幾何上關於一個complex Lagrangian submanifold的Fukaya $A_infty$ -algebra的formality的話，那麼Budur-Zhang的上述定理則可以類比於辛幾何上關於一族complex Lagrangians的formality，雖然這族complex Lagrangians需要滿足一些限制。令人驚奇的是，辛幾何上任何關於一族Lagrangian submanifolds的Fukaya $A_infty$ -algebra的formality result都是highly non-trivial的，而Budur-Zhang在general case的證明卻並不比對Kaledin-Lehn的原始猜想的證明更加複雜。我想問題的關鍵在於他們的證明很好地利用了被辛幾何學家忽視的hyperkahler structure。

或許把Budur-Zhang關於K3 surface的formality定理翻譯到辛幾何上並不是太困難的事，但是在代數幾何上只對K3曲面上的polystable sheaf，而不是對任意hyperkahler manifold都有formality猜想，還是讓我覺得怪異。通常情況下，代數幾何的發展要比辛幾何快得多。

早先Sheridan和Smith曾經用homological mirror symmetry把Bayer-Bridgeland的工作（Derived automorphism groups of K3 surfaces of Picard rank 1）翻譯到辛幾何上，從而得到了很多關於K3 surface的symplectic Torelli group和Lagrangian embedding的有趣結果：

[1709.09439] Symplectic topology of K3 surfaces via mirror symmetry?

arxiv.org

如果代數幾何上關於hyperkahler manifold的derived category中stable objects定義的dg algebra的formality的研究可以日趨成熟，或許homological mirror symmetry也可以給Smith-Solomon提出的問題一個滿意的解答。無論如何，還是應該先嘗試在辛幾何的範疇內解決問題。有的時候，辛幾何學家可能沒辦法得到很完整、很一般的結果，但用純粹的辛幾何技術給出的任何一個艱難的證明，本身都是極具美感的。這些在精巧構思下好不容易才得到的殘缺破碎的結果，恰恰是辛幾何的魅力所在。