極限思想的應用例題

08-15

極限思想的應用例題

來自專欄《微積分學教程》數學筆記1 人贊了文章

寫在前面：

在「無窮小的分階」內容後面發現的幾個例題，感覺挺經典的。

例題一：

設長 $l$ 米的尺子測量某個地方的直線距離。因為實際上沒有把尺子尊卻地沿著測量的直線放置，以致測量的結果顯得比真實值長一些。試著就最壞的情況考慮，若在測量時尺子成鋸齒狀測量（如圖所示），且鋸齒的頂點與地面相距 $lambda$ 米（ $lambda<<l$ ）試估計其誤差。如果可以，請對最終式子化簡。

分析：

一開始看著，我是沒有思路的。不過沒關係，我們可以先抓住主要問題，再將問題分解成無數小問題，並解決小問題就好了。

沒錯，如果讓我們一開始就解決這個問題，我們可能會沒有思路。但是，如果是讓我們找到主要問題（問題問了什麼，要解決什麼？），那是很容易的。

以下是分析過程：

主要問題是什麼？
分析誤差。
什麼是誤差？
測量值減去真實值即為誤差
測量值已知，如何求得真實值？
利用偏轉角，結合三角函數的知識。
如何表示偏轉角？
利用 $lambda$ 與 $frac{l}{2}$ 的比值表示偏轉角。

求得誤差後，如何化簡？
不知道，不妨先做到那一步再看看。

注意：思路因人而不同，以上只是展示我的思路，並沒有說他人一定是按我這個步驟來的。

有了思路，那麼開始解答就好了。

解：
易得誤差 $delta=frac{l}{2}-frac{sqrt{l^2-4lambda ^2}}{2}$ 。

接下來，考慮怎麼化簡就好了。

我們通過變數運算，得到了一個式子。化簡的意義就在於：化簡過後所得的式子，如果代入數值，那麼它可以相比於化簡前的式子在更短的時間內計算出結果。當然，式子的樣子變得簡單是表象，計算變得簡單才是實質。不過，這裡插一句，有關這種「簡單」所指明的對象一直不是很明確。存在某些化簡方法會將人類的計算簡化，相對計算機卻會複雜。同時也存在相反的情況。

好了，接著分析。如果我們想將式子進行簡化，本質是使用等價的式子來代替其中的一部分。比如，觀察式子中的 $sqrt{l^2-4lambda ^2}$ 。如果我們可以找到一個等價且計算更簡便的式子將其替換，那麼我們便達到了我們的目的。

以下是三種思路，而奇怪的是，只有第三種起了作用。

第一種：
由 $sqrt{l^2-4lambda ^2}$ 想到，因為 $lambda$ 無限趨於0，所以當其趨於0時，我們可以簡化式子。

續解：
化簡 $delta=frac{l}{2}-frac{sqrt{l^2-4lambda ^2}}{2}=frac{l}{2}-frac{l}{2}=0$ 。
無疑失敗了。

第二種：
由 $sqrt{l^2-4lambda ^2}=sqrt{(l-2lambda)(l+2lambda)}$ 想到調幾算平。
續解：
化簡 $delta=frac{l}{2}-frac{sqrt{l^2-4lambda ^2}}{2}=frac{l}{2}-frac{sqrt{(l-2lambda)(l+2lambda)}}{2}>frac{l}{2}-frac{frac{(l-2lambda)+(l+2lambda)}{2}}{2}=0$
無疑又失敗了。

第三種：
看到根號，看到等價，想到 $sqrt{1+x}=1+frac{x}{2},( x ightarrow0)$ 。
續解：
設 $x=-frac{4lambda ^2}{l^2}$ ，

化簡 $delta=frac{l}{2}-frac{sqrt{l^2-4lambda ^2}}{2}=frac{l}{2}-frac{sqrt{l^2+xl^2}}{2}=l-frac{2lambda^2}{l}$
成功。