高等代數筆記整理（六）

08-16

高等代數筆記整理（六）

來自專欄我的數學臆想19 人贊了文章

大家好！

我們接著上篇沒講完的地方講。

引言

這一節我們來探討商空間的內容。

上一節我們只是粗略地提及了陪集的需要，現在我們來重新解釋一下，為什麼我們需要引入商空間的概念。

之前我們總共講到兩種研究線性空間的途徑，即「細胞核」與「切蛋糕」，而商空間則比較特殊，他是從重新整合線性空間的角度來研究它的結構的，換句話說，它是將原本的線性空間經過一定的整合拆分組合成一個新的線性空間，下面你就會深刻理解到這一點。

為此，我么先給出陪集（其實是新的線性空間中的元素）的概念。

陪集（Coset）

我們先給出如下等價關係：取 $W$ 是線性空間 $V$ 的一個子空間，則

$alpha sim eta Leftrightarrow alpha-eta in W$

下面我們證明它是一個等價關係。

proof：

1.反身性 $alpha-alpha=0 in W$

2.對稱性： $alpha sim eta Rightarrow eta-alpha=-(alpha-eta)in W Rightarrow eta sim alpha$

3.傳遞性： $alpha sim eta,eta sim gamma Rightarrow gamma-alpha=(gamma-eta)+(eta-alpha) in W$

其中，對於 $alpha in V$ , $alpha$ 的等價類

$egin{align*} ar{alpha}&=left{eta in V | eta sim alpha ight} \ &=left{eta in V | eta-alpha in W ight} \ &=left{eta in V | eta=alpha+gamma,gamma in W ight} \ &=left{alpha+gamma | gamma in W ight} \ end{align*}$

我們把這個集合記作 $alpha+W$ ，並稱為 $W$ 的一個陪集， $alpha$ 為這個陪集的一個代表（實際上它有很多個代表）。

特別地， $eta in W$ 時， $ar{eta}=ar0=W$ 。（這表明 $W$ 其實是 $V/W$ 的零元）

注意，這個定義只是在線性空間上的陪集，並不完全，為了邏輯鏈的完整性，我們將在最後給出它的真實定義，但是此部分知識與本課程無關，不是很感興趣的同學可以選擇直接跳過。

對於上述等價關係 $sim$ ，商集 $V/sim$ （我們常寫成 $V/W$ ） $=left{ alpha+W | alpha in V ight}$

我們的目標是將其重新整合為一個線性空間，所以我們引入如下兩種運算：

加法： $（alpha+W)+(eta+W) riangleq (alpha+eta)+W$

純量乘法： $k（alpha+W) riangleq kalpha+W$

可以驗證，它滿足線性空間的八條運演算法則且封閉，於是此時商集 $V/W$ 就是一個線性空間了，我們把它稱為線性空間 $V$ 對於 $W$ 的商空間。

這裡補充下線性空間的定義吧。

首先是域（Field）

Def：一個被定義了兩個二元運算 $+$ 和 $imes$ 的集合 $F$ 如果滿足：

1.對於加法：

結合律： $forall x,y,zin F,x+(y+z)=(x+y)+z$
交換律： $forall x,yin F,x+y=y+x$
含有單位元： $forall xin F,exists e in F$ ,使得 $a+e=e+a=a$ ,我們將這裡的 $e$ 記作 $0$ ，稱為加法單位元
可逆： $forall xin F,exists yin F$ ,使得 $x+y=y+x=0$ ，我們將這裡的 $y$ 記作 $-x$ ，稱為 $x$ 的加法逆

2.對於乘法：

結合律： $forall x,y,zin F,x(yz)=(xy)z$
交換律： $forall x,yin F,xy=yx$
含有單位元： $forall xin F,exists e in F$ ,使得 $ae=ea=a$ ,我們將這裡的 $e$ 記作 $1$ ，稱為乘法單位元
可逆： $forall xin F,x e 0 ,exists yin F$ ,使得 $xy=yx=1$ ，我們將這裡的 $y$ 記作 $-x$ ，稱為 $x$ 的乘法逆

3.對於加法和乘法的結合（分配律）： $forall x,y,zin F,x(y+z)=xy+xz$

它有一些簡單的性質，具體可參考

胡樹：數學分析筆記整理（一）?

zhuanlan.zhihu.com

線性空間（Linear space）

Def：設V是一個帶有加法（ $V imes V ightarrow V$ 的一個映射）與純量乘法（scalar mutiplication，也可稱為標量乘法，即 $F imes V ightarrow V$ 的一個映射）的集合，並滿足以下八條性質(其中, $alpha,eta in V,k.l in F,F$ 是一個域)

加法交換律： $alpha+eta=eta+alpha$
加法結合律： $left(alpha+eta ight)+gamma=alpha+left(eta+gamma ight)$
加法單位元： $exists 0 in V,使得forall alpha in V,alpha+0=0+alpha=alpha$ ，我們稱0為 $V$ 的零元。
加法可逆： $forall alpha=left(a_{1} ,a_{2},cdots,a_{n} ight),exists -alpha in V$ ,使得 $alpha+left(-alpha ight)=left(-alpha ight)+alpha=0$ 這裡，我們稱 $left( -alpha ight)$ 是 $alpha$ 的負元，其中 $-alpha=left(-a_{1},-a_{2},cdots,-a_{n} ight)$
純乘單位元： $forall alpha in V,1alpha=alpha 1=alpha$
純乘分配律： $kleft(l alpha ight)=lleft(k alpha ight)$
分配律一： $left(k+l ight)alpha=k alpha +l alpha$
分配律二： $kleft(alpha+eta ight)=k alpha +k eta$

那麼就稱V是域 $F$ 上的一個線性空間。（注意和上面定義的區別。）

商空間

給出上面的定義後，我們來研究商空間作為線性空間的一些性質。

Theorem 1：若 $W$ 是線性空間 $V$ 的一個子空間，則 $dim(V/W)=dimV-dimW$

proof：取子空間 $W$ 的一個基 $alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_s$ 並將其擴充為 $V$ 的一個基

$alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_s，alpha_{s+1},cdots,alpha_n$ 。

下面證明 $alpha_{s+1}+W,cdots,alpha_n+W$ 是 $V/W$ 的一個基（即證明線性無關且可以線性表出 $V/W$ 中的全部元素）。

設 $(k_1alpha_{s+1}+W)+cdots+(k_{n-s}alpha_n+W)=W$ （ $W$ 相當於 $V$ 中的零向量）

於是 $(k_1alpha_{s+1}+cdots+k_{n-s}alpha_n)+W=W$ ，即 $k_1alpha_{s+1}+cdots+k_{n-s}alpha_n in W$

於是有 $k_1alpha_{s+1}+cdots+k_{n-s}alpha_n=t_1alpha_1+cdots+t_salpha_s$ ，即

$t_1alpha_1+cdots+t_salpha_s-k_1alpha_{s+1}-cdots-k_{n-s}alpha_n=0$

又因為 $alpha_1,cdots,alpha_n$ 線性無關，所以 $k_1=cdots=k_{n-s}=0$

所以 $alpha_{s+1}+W,cdots,alpha_n+W$ 線性無關。

顯然，它也可以線性表出 $V/W$ 中的全部元素，於是 $alpha_{s+1}+W,cdots,alpha_n+W$ 是 $V/W$ 的一個基，所以 $dim(V/W)=dimV-dimW$ 。

於是有推論。

Corollary：若

$egin{align*} V&=<alpha_1,cdots,alpha_s,alpha_{s+1},cdots,alpha_n> \ &=<alpha_1,cdots,alpha_s>+<alpha_{s+1},cdots,alpha_n>\ &=W oplus U end{align*}$

則 $alpha_{s+1}+W,cdots,alpha_n+W$ 是 $V/W$ 的一個基。

反過來對不對呢？答案是肯定的，我們給出證明。

Theorem 2：如果 $alpha_{s+1}+W,cdots,alpha_n+W$ 是 $V/W$ 的一個基， $U=<alpha_{s+1},cdots,alpha_n>$ ，則 $V=W oplus U$ ，並且 $alpha_{s+1},cdots,alpha_n$ 是 $U$ 的一個基。

proof：

(a)先證 $V=W+U$

任取 $alpha in V$ ，由於 $alpha_{s+1}+W,cdots,alpha_n+W$ 是 $V/W$ 的一個基，所以有

$alpha+W=(k_1alpha_{s+1}+W)+cdots+(k_{n-s}alpha_n+W)$

即 $alpha+W=(k_1alpha_{s+1}+cdots+k_{n-s}alpha_n)+W$

於是 $alpha-(k_1alpha_{s+1}+cdots+k_{n-s}alpha_n)=eta in W$ ，因此

$alpha=(k_1alpha_{s+1}+cdots+k_{n-s}alpha_n)+eta in W+U$ ，

這就證明了 $V subset W+U$

又由 $W,U$ 是 $V$ 的子空間知道 $V supset W+U$ ，於是 $V=W+U$ 。

(b)現在來證明剩下的部分。

由Theorem 1， $n-s=dim(V/W)=dimV-dimW=n-dimW$

所以 $dimW=s$ ，由 $V=W+U$ 知 $dimW+dimU=s+dimU geq n$ ，於是 $dimU geq n-s$

由 $U=<alpha_{s+1},cdots,alpha_n>$ 我們又知道 $dimU leq n-s$ ，所以 $dimU=n-s$ ，因此 $V=W oplus U$ （因為 $dimV=dimW+dimU$ ），並且 $alpha_{s+1},cdots,alpha_n$ 是 $U$ 的一個基。

這就完成了我們的證明。

商空間的概念在之後會有很大作用。

關於陪集一些的補充

下面是關於陪集的一些補充。以下引用塊的部分全部引自 @劉理的抽象代數筆記，感謝學長的支持！

作為鋪墊，我們先引入二元運算

二元運算（binary operation）

Def：設 $S$ 是一個集合，關於S的一個二元關係是從 $S imes S$ 到 $S$ 的映射。

這裡的意思是，如果運算符號記為*，那麼這個二元運算從 $(a,b)$ 映射到 $a*b$ ，也可以記為 $*(a,b)=a*b$ ，其中 $a,bin S$ 。

注意，由於這裡的*是一個 $S imes S$ 到 $S$ 的映射，所以 $forall a,bin S$ ， $a*bin S$ 並且有且只有一個。

另外，二元運算只有定義到集合上才有意義，這點與二元關係類似。

我們平常所說的加法或者乘法就是實數集或者有理數集上的二元運算，沒錯，運算的本質就是映射，這樣想想，是不是對我們早已習以為常的加減乘除的認識更深刻了？

其實，集合與映射本身就是最本質的概念，如果細究起來，很多數學分支最後都能建立在這兩個概念之上。

下面我們引入群（Group）
Definition:group
給定一個集合 $G$ 和一個二元關係 $*$ ，這個二元關係是一個 $G imes G o G$ 的映射，則如果這是一個群，就需要滿足以下三個性質
(1)結合律(Associativity)，對於任意給定的 $a,b,c in G$ ，有 $(a*b)*c=a*(b*c)$
(2)單位元存在(Identity)，對於所有的 $a in G$ ，存在這樣的元素 $e in G$ 滿足 $ea=ae=a$
(3)逆元存在(Inverse)，對於所有的 $a in G$ ，存在這樣的元素 $a^{-1}$ 使得 $aa^{-1}=a^{-1}a=e$
為了方便例子的舉出，我們暫時給定一個記號 $<G,*>$ （因為我們之後會放棄它），注意，這裡它不是一個群，只是表示一個集合和對應的一個二元關係。
比如說， $<Z,+>$ 是一個群，而 $<Z,->$ 就不是。

以下是子群

子群就是群上的進一步收縮，它的定義如下
Definition:subgroup
設 $G$ 是一個群， $H$ 是 $G$ 的一個子群，那麼如果 $H$ 滿足
(1)封閉性(Closure):對於任意的 $a,b in H$ ， $ab in H$
(2)單位元存在(Identity): $e in H$ ，其中 $e$ 是 $G$ 中的單位元
(3)逆元存在(Inverse):對於任意的 $g in H$ ，有 $g^{-1} in H$
比如說，對於一個群 $<mathbb{R}^{*},*>$ ， $<mathbb{Q}^{*},*>$ 就是它的一個子群。
我們給定記號 $H le G$ 說明 $H$ 是 $G$ 的子群。

子群可以粗略地說成是包含於原來群並保持原先運算的一個群。

關於子群在整數域下的應用，有一個很有趣的問題

Problem
考慮群 $<mathbb{Z},+>$ ，設 $p$ 為一個正整數，那麼 $H=pmathbb{Z}$ 是子群，並且一定存在 $p$ ，使得 $H=pmathbb{Z}$ ( $p in N$ )
proof：
$pmathbb{Z}$ 是子群很簡單，但是證明它的子群只有這種形式，則稍有難度。
分情況討論，如果， $H={0}$ 是這個加法群的單位元集合，它是一個平凡子群(trivial group)，當然是子群。並且 $H=0mathbb{Z}$
如果 $H e {0}$ ，那麼H中就有一系列的非零元素，不失一般性（WLOG），我們假設內部非零元全為正數，並且取出最小的那個非零元為 $p$ ，那麼對於任意的在 $H$ 中的數 $h$ ，根據帶余除法，就有 $h=pq+r$ ， $0 le r<p$ 。由於 $H$ 是一個群，所以根據 $pq,h$ 都在群內，可以得出 $r$ 也在群內。但是 $p$ 是那個最小的非零元。所以 $r=0$ ，那麼這樣的話就可以得出，對於任意的 $h in H$ ，它都是形如 $pq(q in Z)$ 的形式，因此可以說明 $H subset pmathbb{Z}$ 。
另一方面，對於任意的 $h in Z$ ，根據群的性質我們可以得到 $ph=underbrace{p+p+cdots+p} in H$ ，因此我們可以得出 $pmathbb{Z} subset H$ ，於是 $H=pmathbb{Z}$ 。這就證明了結論。
由於證明的主體是 $H$ ，而這裡的 $p$ 是規定的，有條件的，因此我們的討論重點在 $H$ 上，如果在 $p$ 上討論了就做不出來了。
這個性質也就刻畫了整數群的子群的結構形式，我們這裡不加引入的使用了陪集的符號，大家明白意思就好。

下面我們研究陪集。

Definition:Left Coset
設 $G$ 是一個群， $H le G$ （別忘了啥意思了）， $a in G$ ，那麼
$aH={ah mid h in H}$ 就是 $H$ 的一個左陪集。
右陪集同理定義，因為單獨一種的性質是相似的，所以我們先只討論左陪集。
注意， $H$ 本身也是一個陪集（想想為什麼？）
陪集有很多種，舉個例子，我們在高中數學必修4中學的三角函數表示 $a+2kpi, k in mathbb{Z}$ ，把一個表示相同幾何角的角度聚合在一起構成的集合，就是一個陪集，只不過是在加法群上的而已。
另外比較常見的是最小剩餘類，這個高中的競賽數論是非常常見的東西。
如果研究陪集的性質的話會發現，陪集有個很有趣的現象，就是它按照一個類別分好後，各類之間絕對不會相交。這就讓我們聯想到了之前說的等價關係和劃分。
如何確定陪集的這個性質呢？所以我們加一個關係好了。這個在群 $G$ 上的關係我們這麼定義。
$a sim b Leftrightarrow$ 存在 $h in H$ 使得 $a=bh$
可以證明它是等價關係，這個留給大家做練習。